Subgroups — #353114

Order 512.

2738 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1729	C₂	1	4	yes	maximal
5	#10694	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10693	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂²×#97	—	2	4	no	—
15	C₂²×#97	—	2	4	no	—
16	C₂²×#97	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#117	—	2	4	no	—
22	C₄×#117	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
25	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
27	#1729	C₄	1	32	yes	complemented
28	C₂×#336	C₂²	1	16	yes	—
29	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
34	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
37	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×#117	—	2	4	no	—
44	C₂×#117	—	2	4	no	—
45	C₂×#117	—	2	8	no	—
46	C₂×#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
61	C₂×#97	—	2	32	no	—
62	C₂×#97	—	2	4	no	—
63	C₂×#97	—	2	4	no	—
64	C₂×#97	—	2	4	no	—
65	C₂×#97	—	2	4	no	—
66	C₂×#97	—	2	4	no	—
67	C₂×#97	—	2	4	no	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
76	#376	—	2	4	no	—
77	#376	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	C₄³	—	2	4	no	—
80	C₄³	—	2	4	no	—
81	#336	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
82	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
84	C₂³×C₄	C₄²	1	8	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
86	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
104	C₂×M₁₆	C₄²	1	32	yes	complemented
105	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₈	C₄²	1	32	yes	complemented
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
120	#117	—	2	32	no	—
121	#117	—	2	32	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	16	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	16	yes	—
128	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
133	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
137	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
138	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
139	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	#97	—	2	16	no	—
154	#97	—	2	16	no	—
155	#97	—	2	16	no	—
156	C₄×C₈	—	2	16	no	—
157	#95	—	2	16	no	—
158	C₂⁴	—	2	8	no	—
159	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
160	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
161	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
164	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
173	C₂²×C₄	#95	1	32	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	16	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
193	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
195	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
197	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	16	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
206	M₁₆	—	2	64	no	—
207	C₂×C₈	—	2	8	no	—
208	C₂×C₈	—	2	8	no	—
209	C₂×C₈	—	2	8	no	—
210	C₂×C₈	—	2	8	no	—
211	C₂×C₈	—	2	16	no	—
212	C₂×C₈	—	2	16	no	—
213	C₂×C₈	—	2	16	no	—
214	C₂×C₈	—	2	16	no	—
215	C₂×C₈	—	2	64	no	—
216	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
217	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
218	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
220	C₄²	—	2	16	no	—
221	C₄²	—	2	16	no	—
222	C₄²	—	4	32	no	—
223	C₄²	#95	1	32	yes	—
224	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
227	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
228	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
231	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂³	—	2	8	no	—
233	C₂³	—	2	16	no	—
234	C₂³	—	2	8	no	—
235	C₂³	—	2	8	no	—
236	C₂³	—	2	16	no	—
237	C₂³	C₄³	1	4	yes	—
238	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
239	C₂³	#376	1	4	yes	—
240	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
241	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
242	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
243	C₂³	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
244	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
247	C₂³	#568	1	8	yes	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	32	no	—
255	C₂×C₄	—	2	16	no	—
256	C₂×C₄	—	4	32	no	—
257	C₂×C₄	—	4	16	no	—
258	C₂×C₄	—	4	16	no	—
259	C₂×C₄	C₄³	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
265	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
266	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
267	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
268	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
269	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
282	C₈	—	2	16	no	—
283	C₈	—	2	16	no	—
284	C₂²	—	2	8	no	—
285	C₂²	—	2	8	no	—
286	C₂²	—	2	8	no	—
287	C₂²	—	2	16	no	—
288	C₂²	—	2	16	no	—
289	C₂²	C₄×#95	1	8	yes	—
290	C₂²	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
294	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₂²	#2873	1	4	yes	—
296	C₂²	#2875	1	8	yes	—
297	C₂²	#2879	1	4	yes	—
298	C₂²	#2905	1	4	yes	—
299	C₂²	#2923	1	8	yes	—
300	C₄	—	2	8	no	—
301	C₄	—	2	8	no	—
302	C₄	—	4	16	no	—
303	C₄	C₄×#95	1	8	yes	—
304	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
305	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
306	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
308	C₂	—	2	8	no	—
309	C₂	C₂×C₄×#95	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#20331	1	2	yes	—
311	C₂	#20335	1	2	yes	—
312	C₂	#20367	1	2	yes	—
313	C₂	#20375	1	4	yes	—
314	C₂	#20427	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂×C₄³
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10694	C₂	semidirect
6. #10693	C₂	semidirect
13. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
16. C₂²×#97	C₄	semidirect
27. #1729	C₄	semidirect
81. #336	C₂×C₄	semidirect
104. C₂×M₁₆	C₄²	semidirect
115. C₂²×C₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂³×#97	2
C₂×C₄×#117	2
C₂×#1729	2
#10694	2
#10693	2