Subgroups — C₂×C₄×H(3,ℤ/4) #353122

Order 512.

2790 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#117	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂²×H(3,ℤ/4)	C₂	1	4	yes	maximal
4	C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	1	8	yes	maximal, direct product factor
5	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
6	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
7	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
9	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
10	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#97	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₄×#117	—	2	4	no	—
15	C₄×#117	—	2	4	no	—
16	C₄×#117	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₄×#117	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
19	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
20	C₂×#376	C₄	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₄³	C₄	1	4	yes	complemented
22	C₂×H(3,ℤ/4)	C₄	1	32	yes	direct product factor
23	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	16	yes	—
24	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
25	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
30	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
31	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂×#117	—	2	4	no	—
34	C₂×#117	—	2	4	no	—
35	C₂×#117	—	2	16	no	—
36	C₂×#117	C₂×C₄	1	32	yes	—
37	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
40	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
42	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
56	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
57	C₂×#97	—	2	4	no	—
58	C₂×#97	—	2	4	no	—
59	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
63	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
64	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
65	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
67	#376	—	2	8	no	—
68	#376	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
69	C₂×#95	—	2	8	no	—
70	C₄³	—	2	8	no	—
71	C₄³	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
72	H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	1	64	yes	direct product factor
73	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
75	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
76	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
79	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
81	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
101	C₂×M₁₆	C₄²	1	16	yes	complemented
102	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
106	C₂²×C₈	C₄²	1	16	yes	complemented
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
108	#117	—	2	16	no	—
109	#117	—	2	32	no	—
110	#117	—	2	32	no	—
111	#117	—	2	16	no	—
112	#117	C₄²	1	32	yes	complemented
113	#117	C₂²×C₄	1	32	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
123	C₂×C₄²	—	4	32	no	—
124	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
125	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
127	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
128	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
129	C₂×C₄²	C₄²	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₄²	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₄²	1	32	yes	complemented
132	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
140	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
156	#97	—	2	16	no	—
157	C₄×C₈	—	2	16	no	—
158	#95	—	2	32	no	—
159	C₂⁴	—	4	4	no	—
160	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂⁴	C₄×D₄	1	8	yes	—
165	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
176	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	#95	1	8	yes	—
180	C₂²×C₄	#95	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	#95	1	8	yes	—
182	C₂²×C₄	#95	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
220	M₁₆	—	2	32	no	—
221	M₁₆	—	2	32	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	2	16	no	—
225	C₂×C₈	—	2	16	no	—
226	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	complemented
227	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
231	C₄²	—	2	16	no	—
232	C₄²	—	2	32	no	—
233	C₄²	—	4	64	no	—
234	C₄²	#95	1	4	yes	—
235	C₄²	#95	1	2	yes	—
236	C₄²	#95	1	8	yes	—
237	C₄²	#95	1	4	yes	—
238	C₄²	#95	1	8	yes	—
239	C₄²	#95	1	4	yes	—
240	C₄²	#95	1	2	yes	—
241	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
242	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
243	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
244	C₄²	C₂×C₄²	1	32	yes	complemented
245	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
247	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
248	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
249	C₂³	—	2	8	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	2	no	—
254	C₂³	—	4	16	no	—
255	C₂³	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	C₂×#95	1	2	yes	—
257	C₂³	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
259	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
260	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
261	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	16	no	—
268	C₂×C₄	—	2	16	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	32	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	8	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	32	no	—
277	C₂×C₄	—	4	64	no	—
278	C₂×C₄	H(3,ℤ/4)	1	8	yes	direct product factor
279	C₂×C₄	C₄³	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₄³	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₄³	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂×#95	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#95	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
292	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
296	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
299	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
301	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
311	C₈	—	2	16	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	16	no	—
317	C₂²	—	2	8	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	C₄×#95	1	2	yes	—
322	C₂²	C₄×#95	1	4	yes	—
323	C₂²	C₄×#95	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×H(3,ℤ/4)	1	4	yes	—
325	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
327	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
328	C₄	—	2	8	no	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	32	no	—
331	C₄	C₄×#95	1	2	yes	—
332	C₄	C₄×#95	1	4	yes	—
333	C₄	C₄×#95	1	2	yes	—
334	C₄	C₂×H(3,ℤ/4)	1	8	yes	direct product factor
335	C₄	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
338	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	—	2	4	no	—
341	C₂	—	2	2	no	—
342	C₂	—	2	2	no	—
343	C₂	C₄×H(3,ℤ/4)	1	4	yes	direct product factor
344	C₂	C₂×C₄×#95	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂²×H(3,ℤ/4)	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₄²
commutator	C₄	C₂×C₄³
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×#95
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	direct (N × H)
10. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
12. C₂²×#97	C₄	semidirect
13. C₂²×C₄×C₈	C₄	semidirect
16. C₄×#117	C₄	semidirect
20. C₂×#376	C₄	semidirect
21. C₂×C₄³	C₄	semidirect
22. C₂×H(3,ℤ/4)	C₄	direct (N × H)
59. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
62. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
68. #376	C₂×C₄	semidirect
71. C₄³	C₂×C₄	semidirect
72. H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	direct (N × H)
101. C₂×M₁₆	C₄²	semidirect
106. C₂²×C₈	C₄²	semidirect
112. #117	C₄²	semidirect
131. C₂×C₄²	C₄²	semidirect
226. C₂×C₈	C₂×C₄²	semidirect
244. C₄²	C₂×C₄²	semidirect
278. C₂×C₄	H(3,ℤ/4)	direct (N × H)
334. C₄	C₂×H(3,ℤ/4)	direct (N × H)
343. C₂	C₄×H(3,ℤ/4)	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×C₄×#117	2
C₂²×H(3,ℤ/4)	2
C₄×H(3,ℤ/4)	2

Subgroups — C2×C4×H(3,ℤ/4) #353122

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×C₄×H(3,ℤ/4) #353122