Subgroups — #353123

Order 512.

2502 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 224 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33996	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂²×H(3,ℤ/4)	C₂	1	4	yes	maximal
4	C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
6	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
7	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	#2873	—	2	8	no	—
9	C₂×#405	C₄	1	8	yes	complemented
10	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
11	#2274	—	2	8	no	—
12	#2274	—	2	4	no	—
13	#2273	—	2	4	no	—
14	C₄×#117	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₄×#117	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×H(3,ℤ/4)	C₄	1	32	yes	complemented
17	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	16	yes	—
18	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
20	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
21	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
22	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
23	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
24	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
25	C₂×#117	—	2	4	no	—
26	C₂×#117	—	2	4	no	—
27	C₂×#117	—	2	16	no	—
28	C₂×#117	C₂×C₄	1	32	yes	—
29	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
30	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
31	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
33	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
34	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
37	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
38	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
41	#405	—	2	32	no	—
42	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
43	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
44	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
45	C₄×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
46	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
47	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
48	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
49	#376	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
50	C₄³	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
51	H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
52	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
54	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
61	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
62	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
63	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
64	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
65	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
66	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
67	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
68	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
69	C₂×M₁₆	C₄²	1	16	yes	complemented
70	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
71	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
73	C₂²×C₈	C₄²	1	16	yes	complemented
74	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
75	#117	—	2	16	no	—
76	#117	—	2	32	no	—
77	#117	—	2	32	no	—
78	#117	—	2	16	no	—
79	#117	C₄²	1	16	yes	—
80	#117	C₄²	1	32	yes	complemented
81	#117	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
82	#117	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
83	#117	C₂²×C₄	1	32	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
94	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
97	C₂×C₄²	C₄²	1	32	yes	complemented
98	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
99	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
101	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
103	#97	—	2	16	no	—
104	C₄×C₈	—	2	16	no	—
105	#95	—	2	32	no	—
106	C₂⁴	—	8	2	no	—
107	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
108	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
109	C₂⁴	C₄×D₄	1	8	yes	—
110	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
112	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
113	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
114	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
115	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
127	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
128	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
129	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
130	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
131	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
132	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
133	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
134	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
135	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
141	M₁₆	—	2	32	no	—
142	M₁₆	—	2	32	no	—
143	C₂×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂×C₈	—	2	32	no	—
146	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
147	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
148	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
149	C₄⋊C₄	#95	1	32	yes	—
150	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
151	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
152	C₂²⋊C₄	#95	1	32	yes	—
153	C₄²	—	2	16	no	—
154	C₄²	—	2	32	no	—
155	C₄²	—	8	32	no	—
156	C₄²	C₂×C₄²	1	32	yes	—
157	C₄²	C₂×C₄²	1	8	yes	—
158	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
159	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
160	C₂³	—	4	8	no	—
161	C₂³	—	4	2	no	—
162	C₂³	—	4	4	no	—
163	C₂³	—	8	8	no	—
164	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
165	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
166	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
167	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
169	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄	—	2	32	no	—
173	C₂×C₄	—	4	16	no	—
174	C₂×C₄	—	4	8	no	—
175	C₂×C₄	—	4	32	no	—
176	C₂×C₄	—	8	32	no	—
177	C₂×C₄	C₄³	1	8	yes	—
178	C₂×C₄	C₂×#95	1	16	yes	—
179	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
180	C₂×C₄	#376	1	8	yes	—
181	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
183	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
184	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
185	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
188	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
189	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
190	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	4	yes	—
191	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
195	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
196	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
197	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
198	C₈	—	2	16	no	—
199	C₂²	—	2	4	no	—
200	C₂²	—	2	2	no	—
201	C₂²	—	2	8	no	—
202	C₂²	—	4	8	no	—
203	C₂²	—	4	4	no	—
204	C₂²	—	4	8	no	—
205	C₂²	—	4	4	no	—
206	C₂²	—	4	4	no	—
207	C₂²	C₄×#95	1	8	yes	—
208	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
209	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₄	—	2	16	no	—
212	C₄	—	4	32	no	—
213	C₄	C₄×#95	1	8	yes	—
214	C₄	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
215	C₄	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
216	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂	—	2	4	no	—
219	C₂	—	2	8	no	—
220	C₂	—	2	2	no	—
221	C₂	C₂×C₄×#95	1	1	yes	characteristic
222	C₂	#20338	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₄²
commutator	C₄	C₂×C₄³
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂²×#95
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	semidirect
9. C₂×#405	C₄	semidirect
14. C₄×#117	C₄	semidirect
16. C₂×H(3,ℤ/4)	C₄	semidirect
43. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
44. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
49. #376	C₂×C₄	semidirect
50. C₄³	C₂×C₄	semidirect
51. H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×M₁₆	C₄²	semidirect
73. C₂²×C₈	C₄²	semidirect
80. #117	C₄²	semidirect
97. C₂×C₄²	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2873	2
#33996	2
C₂²×H(3,ℤ/4)	2
C₄×H(3,ℤ/4)	2