Subgroups — #353145

Order 512.

2550 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2873	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20347	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²×#339	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10707	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10706	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2873	—	2	8	no	—
14	#2873	C₄	1	16	yes	complemented
15	C₂×#405	—	2	4	no	—
16	C₂×#405	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
19	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	#1738	C₄	1	8	yes	complemented
23	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
24	#1736	C₄	1	8	yes	complemented
25	#1735	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#339	C₄	1	16	yes	complemented
27	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
30	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
47	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	—	2	4	no	—
54	C₂×#117	—	2	4	no	—
55	C₂×#117	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#405	—	2	32	no	—
71	#405	—	2	16	no	—
72	#405	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
73	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
74	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
75	C₂×#97	—	2	8	no	—
76	C₂×#97	—	2	8	no	—
77	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
78	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
81	#341	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
82	#340	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
83	#339	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
84	#339	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
85	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	C₄²	1	32	yes	—
119	C₂×M₁₆	C₄²	1	16	yes	—
120	C₂×M₁₆	C₄²	1	16	yes	—
121	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
122	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
123	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
124	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
126	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	#117	—	2	8	no	—
144	#117	—	2	8	no	—
145	#117	—	2	8	no	—
146	#117	—	2	8	no	—
147	#117	—	2	8	no	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	C₄²	1	16	yes	—
151	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	16	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄²	C₄²	1	16	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	#97	—	2	16	no	—
179	#97	—	2	32	no	—
180	C₄×C₈	—	2	16	no	—
181	C₄×C₈	—	2	32	no	—
182	C₂⁴	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
184	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
185	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
186	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
187	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
188	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
238	M₁₆	—	2	8	no	—
239	M₁₆	—	2	8	no	—
240	M₁₆	—	2	8	no	—
241	M₁₆	—	2	32	no	—
242	M₁₆	—	2	32	no	—
243	M₁₆	#95	1	64	yes	—
244	M₁₆	C₂×C₄²	1	16	yes	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	—	2	32	no	—
253	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
255	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
258	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
261	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	16	yes	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	8	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	8	no	—
271	C₄²	—	2	16	no	—
272	C₄²	—	2	16	no	—
273	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
274	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	8	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	#376	1	4	yes	—
282	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
283	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
284	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
285	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
286	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
287	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	16	no	—
297	C₂×C₄	—	4	32	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	16	no	—
301	C₂×C₄	—	8	16	no	—
302	C₂×C₄	C₄³	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	16	no	—
335	C₈	—	2	8	no	—
336	C₈	C₂×#95	1	16	yes	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	8	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	8	no	—
347	C₂²	C₄×#95	1	8	yes	—
348	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2956	1	4	yes	—
354	C₄	—	2	8	no	—
355	C₄	—	4	4	no	—
356	C₄	—	4	16	no	—
357	C₄	C₄×#95	1	8	yes	—
358	C₄	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
361	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
362	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
363	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	—	2	8	no	—
366	C₂	—	2	1	no	—
367	C₂	—	2	2	no	—
368	C₂	C₂×C₄×#95	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#20421	1	4	yes	—
370	C₂	#20445	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₄	C₂×C₄³
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #10707	C₂	semidirect
7. #10706	C₂	semidirect
14. #2873	C₄	semidirect
19. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
22. #1738	C₄	semidirect
24. #1736	C₄	semidirect
26. C₂×#339	C₄	semidirect
72. #405	C₂×C₄	semidirect
77. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
80. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
81. #341	C₂×C₄	semidirect
82. #340	C₂×C₄	semidirect
83. #339	C₂×C₄	semidirect
84. #339	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2873	2
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×#1738	2
#20347	2
C₂²×#339	2
#10707	2
#10706	2