Subgroups — #353150

Order 512.

2782 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 237 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2274	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1740	C₂	1	4	yes	maximal
4	C₄×#342	C₂	1	8	yes	maximal
5	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
6	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	#2274	—	2	8	no	—
9	#2274	—	2	8	no	—
10	#2274	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
12	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
15	#1740	C₄	1	32	yes	complemented
16	C₂×#342	C₂²	1	16	yes	—
17	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
18	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#117	—	2	8	no	—
20	C₂×#117	—	2	8	no	—
21	C₂×#117	—	2	8	no	—
22	C₂×#117	—	2	16	no	—
23	C₂×#117	C₂×C₄	1	32	yes	—
24	C₂×#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
25	C₂×#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
26	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
27	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
30	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
31	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
32	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
35	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
37	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₄×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
40	C₄×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
41	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
42	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
43	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	32	yes	—
44	C₂×#95	—	2	8	no	—
45	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	#342	C₂×C₄	1	64	yes	—
47	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
49	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
50	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
51	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
52	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
53	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
55	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
59	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
60	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
61	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
63	#117	—	2	32	no	—
64	#117	—	2	64	no	—
65	#117	—	2	32	no	—
66	#117	—	2	32	no	—
67	#117	C₄²	1	64	yes	complemented
68	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	16	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	16	yes	complemented
74	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
78	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
83	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
85	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
86	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
87	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
88	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
89	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
90	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
91	C₂×C₄²	—	8	16	no	—
92	C₂×C₄²	—	8	8	no	—
93	C₂×C₄²	C₄²	1	16	yes	complemented
94	#95	—	2	32	no	—
95	#95	—	2	16	no	—
96	C₂⁴	—	4	2	no	—
97	C₂⁴	—	4	2	no	—
98	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
100	C₂⁴	C₂³×C₄	1	4	yes	—
101	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
102	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
104	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
105	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
109	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
110	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
111	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
112	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
113	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
114	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
115	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
116	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
117	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
118	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	16	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	16	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
125	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
126	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
127	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
129	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
130	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
132	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
133	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
134	C₂²×C₄	#117	1	16	yes	—
135	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
136	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
137	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
138	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	16	yes	—
139	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
140	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
141	C₄⋊C₄	#95	1	64	yes	—
142	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
143	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
144	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
145	C₂²⋊C₄	C₂×C₄²	1	32	yes	—
146	C₄²	—	2	64	no	—
147	C₄²	—	2	32	no	—
148	C₄²	—	8	16	no	—
149	C₄²	—	8	32	no	—
150	C₂³	—	2	2	no	—
151	C₂³	—	2	4	no	—
152	C₂³	—	2	2	no	—
153	C₂³	—	2	4	no	—
154	C₂³	—	4	2	no	—
155	C₂³	—	4	1	no	—
156	C₂³	—	4	1	no	—
157	C₂³	—	4	2	no	—
158	C₂³	—	4	8	no	—
159	C₂³	—	4	1	no	—
160	C₂³	—	4	1	no	—
161	C₂³	—	4	8	no	—
162	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
163	C₂³	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
164	C₂³	C₂²×C₄²	1	4	yes	—
165	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
170	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
171	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
172	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
173	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
174	C₂×C₄	—	2	16	no	—
175	C₂×C₄	—	2	16	no	—
176	C₂×C₄	—	2	32	no	—
177	C₂×C₄	—	4	16	no	—
178	C₂×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂×C₄	—	4	16	no	—
181	C₂×C₄	—	4	16	no	—
182	C₂×C₄	—	4	16	no	—
183	C₂×C₄	—	4	64	no	—
184	C₂×C₄	—	4	16	no	—
185	C₂×C₄	—	4	8	no	—
186	C₂×C₄	—	4	8	no	—
187	C₂×C₄	—	4	16	no	—
188	C₂×C₄	C₄³	1	8	yes	—
189	C₂×C₄	C₂×#95	1	16	yes	—
190	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
191	C₂×C₄	#376	1	8	yes	—
192	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
193	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
194	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
195	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
196	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
197	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
198	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	32	yes	—
199	C₂²	—	2	2	no	—
200	C₂²	—	2	1	no	—
201	C₂²	—	2	2	no	—
202	C₂²	—	2	1	no	—
203	C₂²	—	2	2	no	—
204	C₂²	—	2	1	no	—
205	C₂²	—	2	2	no	—
206	C₂²	—	2	1	no	—
207	C₂²	—	2	4	no	—
208	C₂²	—	2	16	no	—
209	C₂²	—	2	4	no	—
210	C₂²	—	4	4	no	—
211	C₂²	—	4	4	no	—
212	C₂²	—	4	4	no	—
213	C₂²	—	4	4	no	—
214	C₂²	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
215	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
216	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
217	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
221	C₂²	#2883	1	2	yes	—
222	C₂²	#2884	1	2	yes	—
223	C₄	—	2	16	no	—
224	C₄	—	4	32	no	—
225	C₄	—	4	16	no	—
226	C₄	C₄×#95	1	16	yes	—
227	C₂	—	2	4	no	—
228	C₂	—	2	1	no	—
229	C₂	—	2	1	no	—
230	C₂	—	2	2	no	—
231	C₂	—	2	4	no	—
232	C₂	C₂×C₄×#95	1	1	yes	characteristic
233	C₂	#20354	1	1	yes	characteristic
234	C₂	#20355	1	1	yes	characteristic
235	C₂	#20393	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²	C₂×C₄³
Frattini, prime radical, cosocle	C₂⁵	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁵ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
10. #2274	C₄	semidirect
12. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
15. #1740	C₄	semidirect
67. #117	C₄²	semidirect
73. C₂×C₄⋊C₄	C₄²	semidirect
93. C₂×C₄²	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2274	2
C₂×#1740	2
C₄×#342	2