Subgroups — #353153

Order 512.

2550 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 314 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2873	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1742	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂²×#343	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₄×#343	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
7	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#2873	—	2	8	no	—
11	#2873	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×#405	—	2	8	no	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	8	yes	—
14	#2274	—	2	8	no	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
16	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
18	#1742	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×#343	C₄	1	16	yes	complemented
20	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
23	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
25	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
26	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
28	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
29	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
30	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
31	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
32	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
33	C₂×#117	—	2	4	no	—
34	C₂×#117	—	2	4	no	—
35	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
36	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
38	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
39	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
52	#405	—	2	64	no	—
53	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
54	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
55	C₂×#97	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
57	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
58	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
59	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
60	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	#343	C₂×C₄	1	32	yes	—
62	#343	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
63	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
66	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
67	C₂³×C₄	C₄²	1	8	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
82	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
83	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
84	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
90	C₂×M₁₆	C₄²	1	64	yes	complemented
91	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
92	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
93	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
94	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
98	#117	—	2	16	no	—
99	#117	—	2	16	no	—
100	#117	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
101	#117	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
122	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
125	C₂×C₄²	—	8	8	no	—
126	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
127	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
131	#97	—	2	32	no	—
132	C₄×C₈	—	2	32	no	—
133	#95	—	2	16	no	—
134	C₂⁴	—	4	2	no	—
135	C₂⁴	—	4	2	no	—
136	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
137	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
138	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
139	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
142	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
143	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
153	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
155	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
156	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
157	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	16	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	#117	1	16	yes	—
171	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
174	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
175	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
176	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
177	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
178	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
179	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
180	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
189	M₁₆	—	2	16	no	—
190	M₁₆	—	2	16	no	—
191	M₁₆	—	2	16	no	—
192	M₁₆	—	2	64	no	—
193	M₁₆	C₂×C₄²	1	32	yes	—
194	C₂×C₈	—	2	16	no	—
195	C₂×C₈	—	2	16	no	—
196	C₂×C₈	—	2	16	no	—
197	C₂×C₈	—	2	64	no	—
198	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
199	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
200	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
201	C₄⋊C₄	#95	1	32	yes	—
202	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
203	C₂²⋊C₄	#95	1	32	yes	—
204	C₄²	—	2	16	no	—
205	C₄²	—	8	16	no	—
206	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
207	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	2	4	no	—
210	C₂³	—	2	2	no	—
211	C₂³	—	2	4	no	—
212	C₂³	—	4	2	no	—
213	C₂³	—	4	2	no	—
214	C₂³	—	4	4	no	—
215	C₂³	—	4	4	no	—
216	C₂³	—	4	2	no	—
217	C₂³	—	4	4	no	—
218	C₂³	—	4	4	no	—
219	C₂³	—	4	2	no	—
220	C₂³	C₄³	1	4	yes	—
221	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
222	C₂³	#376	1	4	yes	—
223	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
226	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
227	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
228	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
229	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
230	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
233	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	8	no	—
246	C₂×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂×C₄	—	8	16	no	—
248	C₂×C₄	C₄³	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×#95	1	16	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
252	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
255	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
256	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
258	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
259	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
260	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
270	C₈	—	2	32	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	8	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	—	2	8	no	—
277	C₂²	—	2	1	no	—
278	C₂²	—	2	1	no	—
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	—	2	1	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	2	1	no	—
283	C₂²	—	4	4	no	—
284	C₂²	—	4	4	no	—
285	C₂²	—	4	4	no	—
286	C₂²	—	4	4	no	—
287	C₂²	C₄×#95	1	8	yes	—
288	C₂²	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	#2888	1	2	yes	—
296	C₂²	#2889	1	2	yes	—
297	C₄	—	2	16	no	—
298	C₄	—	4	8	no	—
299	C₄	—	4	8	no	—
300	C₄	C₄×#95	1	8	yes	—
301	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
302	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
303	C₂	—	2	8	no	—
304	C₂	—	2	1	no	—
305	C₂	—	2	1	no	—
306	C₂	—	2	1	no	—
307	C₂	—	2	1	no	—
308	C₂	C₂×C₄×#95	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#20358	1	2	yes	—
310	C₂	#20397	1	2	yes	—
311	C₂	#20398	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#20399	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂²	C₂×C₄³
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. C₄×#343	C₂	semidirect
11. #2873	C₄	semidirect
18. #1742	C₄	semidirect
19. C₂×#343	C₄	semidirect
54. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
62. #343	C₂×C₄	semidirect
90. C₂×M₁₆	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2873	2
C₂×#2274	2
C₂×#1742	2
C₂²×#343	2
C₄×#343	2