Subgroups — #353196

Order 512.

2310 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 347 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄×C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1752	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1726	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10696	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10694	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#97	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	—	2	8	no	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
25	#1752	C₄	1	16	yes	complemented
26	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	16	yes	complemented
27	#1749	C₄	1	8	yes	complemented
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
31	#1726	—	2	8	no	—
32	#1434	C₄	1	4	yes	—
33	C₂²⋊#95	C₄	1	4	yes	—
34	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
41	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂×#97	—	2	8	no	—
63	C₂×#97	—	2	8	no	—
64	C₂×#97	—	2	4	no	—
65	C₂×#97	—	2	4	no	—
66	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×#97	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
68	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	32	no	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	#376	—	2	4	no	—
83	#376	—	2	4	no	—
84	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
85	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
86	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
88	#336	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
89	#336	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
90	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	C₄²	1	8	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
122	C₂²×C₈	C₄²	1	16	yes	—
123	C₂²×C₈	C₄²	1	16	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	16	yes	—
141	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
160	C₂²⋊C₈	C₄²	1	32	yes	—
161	#97	—	2	32	no	—
162	#97	—	2	16	no	—
163	C₄×C₈	—	2	8	no	—
164	C₄×C₈	—	2	8	no	—
165	C₄×C₈	—	2	32	no	—
166	C₄×C₈	—	2	8	no	—
167	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
168	#95	—	2	16	no	—
169	#95	—	2	16	no	—
170	#95	C₄²	1	16	yes	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
175	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
176	C₂⁴	#131	1	8	yes	—
177	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	16	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	8	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	—	2	8	no	—
228	C₂×C₈	—	2	8	no	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	2	8	no	—
232	C₂×C₈	—	2	32	no	—
233	C₂×C₈	—	2	32	no	—
234	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
235	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
242	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
243	C₂×C₈	C₄×D₄	1	16	yes	—
244	C₂×C₈	C₄×D₄	1	16	yes	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
246	C₄²	—	2	2	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	8	no	—
249	C₄²	—	2	8	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	8	no	—
252	C₄²	—	2	8	no	—
253	C₄²	—	2	16	no	—
254	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
255	C₄²	#117	1	4	yes	—
256	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	2	16	no	—
260	C₂³	—	2	16	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	8	no	—
264	C₂³	C₄³	1	4	yes	—
265	C₂³	#405	1	16	yes	—
266	C₂³	#405	1	8	yes	—
267	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
269	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
270	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
272	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	—	2	64	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	16	no	—
278	C₂×C₄	—	2	16	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	16	no	—
288	C₂×C₄	—	2	16	no	—
289	C₂×C₄	—	2	16	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	4	16	no	—
292	C₂×C₄	—	4	16	no	—
293	C₂×C₄	C₄³	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
295	C₂×C₄	#405	1	8	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
309	C₈	—	2	4	no	—
310	C₈	—	2	4	no	—
311	C₈	—	2	16	no	—
312	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
313	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
314	C₂²	—	2	32	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	8	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	#1726	1	8	yes	complemented
320	C₂²	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₄²×D₄	1	4	yes	—
324	C₂²	C₂×#405	1	4	yes	—
325	C₂²	C₂×#405	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂×#405	1	2	yes	—
327	C₂²	C₄×#131	1	4	yes	—
328	C₂²	#2929	1	8	yes	—
329	C₂²	#2966	1	8	yes	—
330	C₄	—	2	8	no	—
331	C₄	—	2	8	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	4	16	no	—
334	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
338	C₄	C₄²×D₄	1	4	yes	—
339	C₂	—	2	8	no	—
340	C₂	C₄²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₂×#1726	1	1	yes	characteristic
342	C₂	C₄×#405	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#20385	1	2	yes	—
344	C₂	#20476	1	2	yes	—
345	C₂	#20484	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₈	C₂³
commutator	C₂²	C₂×C₄³
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. C₂×#1726	C₂	semidirect
7. #10696	C₂	semidirect
8. C₈×#95	C₂	semidirect
9. #10694	C₂	semidirect
17. C₂²×C₄×C₈	C₄	semidirect
25. #1752	C₄	semidirect
26. C₈×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
27. #1749	C₄	semidirect
67. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
78. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
88. #336	C₂×C₄	semidirect
89. #336	C₂×C₄	semidirect
167. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect
319. C₂²	#1726	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄×C₈	2
C₂×#1752	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
C₂×#1749	2
C₂×#1726	2
#13753	2
#10696	2
C₈×#95	2
#10694	2