Subgroups — #353205

Order 512.

2290 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 337 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1753	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄×#97	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10696	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₈×#95	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10693	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#97	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
23	#1753	C₄	1	32	yes	complemented
24	#1749	C₄	1	8	yes	complemented
25	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
28	C₄×#97	—	2	8	no	—
29	C₄×#95	C₄	1	4	yes	—
30	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
56	C₂×#97	—	2	8	no	—
57	C₂×#97	—	2	8	no	—
58	C₂×#97	—	2	4	no	—
59	C₂×#97	—	2	4	no	—
60	C₂×#97	—	2	4	no	—
61	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#97	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
65	C₂×#97	D₄	1	8	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
71	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
73	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₄³	—	2	4	no	—
77	C₄³	—	2	4	no	—
78	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	#336	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
80	#336	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
81	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂³×C₄	C₄²	1	8	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
103	C₂×M₁₆	C₄²	1	32	yes	complemented
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
119	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	16	yes	—
123	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
137	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
147	C₂²⋊C₈	C₄²	1	32	yes	complemented
148	#97	—	2	32	no	—
149	#97	—	2	8	no	—
150	#97	—	2	16	no	—
151	#97	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
152	C₄×C₈	—	2	16	no	—
153	C₄×C₈	—	2	32	no	—
154	#95	—	2	8	no	—
155	#95	C₄²	1	16	yes	—
156	#95	M₁₆	1	16	yes	complemented
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂⁴	—	2	1	no	—
159	C₂⁴	—	2	1	no	—
160	C₂⁴	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
163	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
164	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
200	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
210	M₁₆	—	2	64	no	—
211	C₂×C₈	—	2	4	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	8	no	—
214	C₂×C₈	—	2	8	no	—
215	C₂×C₈	—	2	8	no	—
216	C₂×C₈	—	2	8	no	—
217	C₂×C₈	—	2	8	no	—
218	C₂×C₈	—	2	8	no	—
219	C₂×C₈	—	2	8	no	—
220	C₂×C₈	—	2	8	no	—
221	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
222	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
223	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
224	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
225	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
226	C₂×C₈	C₄×D₄	1	16	yes	—
227	C₂×C₈	C₄×D₄	1	16	yes	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
229	C₄²	—	2	2	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	8	no	—
232	C₄²	—	2	8	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	8	no	—
235	C₄²	—	2	8	no	—
236	C₄²	—	2	16	no	—
237	C₄²	—	4	32	no	—
238	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
239	C₄²	#117	1	4	yes	—
240	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
241	C₂³	—	2	8	no	—
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	8	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	4	8	no	—
250	C₂³	—	4	4	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	C₄³	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
254	C₂³	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
255	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
256	C₂³	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
259	C₂³	#568	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	16	no	—
265	C₂×C₄	—	2	16	no	—
266	C₂×C₄	—	2	16	no	—
267	C₂×C₄	—	2	16	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	16	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	32	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	C₄³	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
285	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	8	yes	—
286	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	16	yes	complemented
287	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
298	C₈	—	2	8	no	—
299	C₈	—	2	16	no	—
300	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	4	no	—
303	C₂²	—	2	4	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	4	8	no	—
306	C₂²	—	4	8	no	—
307	C₂²	—	4	4	no	—
308	C₂²	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₄²×D₄	1	2	yes	—
312	C₂²	C₄²×D₄	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	4	yes	—
315	C₂²	#2873	1	2	yes	—
316	C₂²	#2875	1	4	yes	—
317	C₂²	D₄×M₁₆	1	8	yes	—
318	C₂²	#2970	1	4	yes	—
319	C₂²	#2971	1	4	yes	—
320	C₄	—	2	16	no	—
321	C₄	—	2	8	no	—
322	C₄	—	2	8	no	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	4	8	no	—
325	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
326	C₄	C₄×#117	1	2	yes	—
327	C₄	C₄²×D₄	1	4	yes	—
328	C₂	—	4	4	no	—
329	C₂	C₄²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂	C₄²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#20331	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂²⋊C₄×M₁₆	1	2	yes	—
333	C₂	#20480	1	2	yes	—
334	C₂	#20491	1	4	yes	—
335	C₂	#20494	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂×C₄³
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×C₄×#97	C₂	semidirect
6. #10696	C₂	semidirect
7. C₈×#95	C₂	semidirect
8. #10693	C₂	semidirect
13. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
23. #1753	C₄	semidirect
24. #1749	C₄	semidirect
64. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
70. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
79. #336	C₂×C₄	semidirect
80. #336	C₂×C₄	semidirect
103. C₂×M₁₆	C₄²	semidirect
147. C₂²⋊C₈	C₄²	semidirect
151. #97	C₂²⋊C₄	semidirect
156. #95	M₁₆	semidirect
286. C₂×C₄	C₄×M₁₆	semidirect
300. C₈	C₄×C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×#1753	2
C₂×#1749	2
C₂×C₄×#97	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2
#10696	2
C₈×#95	2
#10693	2