Subgroups — #353246

Order 512.

1378 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 234 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1772	C₂	1	4	yes	maximal
4	#20331	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10707	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10701	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#405	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₄×#108	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₄×#107	C₄	1	4	yes	complemented
20	C₄×#106	C₄	1	4	yes	complemented
21	#1772	C₄	1	32	yes	complemented
22	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
23	#1735	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
25	#1726	—	2	4	no	—
26	#1726	C₄	1	8	yes	complemented
27	C₄×#97	—	2	4	no	—
28	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
29	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#108	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	#427	C₂×C₄	1	16	yes	—
38	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	#405	—	2	16	no	—
41	#405	C₂×C₄	1	32	yes	—
42	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
43	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×#97	—	2	8	no	—
45	C₂×#97	—	2	8	no	—
46	C₂×#97	—	2	2	no	—
47	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×#97	Q₈	1	4	yes	—
52	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
53	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
60	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
62	#376	—	2	2	no	—
63	#376	—	2	2	no	—
64	#376	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	C₂×#95	—	2	2	no	—
66	C₄³	—	2	2	no	—
67	#341	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	#339	C₂×C₄	1	32	yes	—
70	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
71	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
73	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
74	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
75	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
76	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
77	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
89	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
91	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
92	#117	—	2	8	no	—
93	#117	C₂²×C₄	1	16	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
100	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
101	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
109	#108	C₄²	1	32	yes	complemented
110	#107	C₄²	1	16	yes	—
111	#106	C₄²	1	16	yes	—
112	#97	—	2	16	no	—
113	#97	—	2	32	no	—
114	#97	—	2	8	no	—
115	#97	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
116	#97	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
117	C₄×C₈	—	2	32	no	—
118	C₄×C₈	—	2	8	no	—
119	C₄×C₈	C₄²	1	8	yes	—
120	C₄×C₈	C₄²	1	8	yes	—
121	C₄×C₈	C₄²	1	32	yes	complemented
122	#95	—	2	8	no	—
123	#95	—	2	8	no	—
124	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
129	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
131	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
134	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	M₁₆	—	2	8	no	—
143	M₁₆	—	2	16	no	—
144	M₁₆	C₂×C₄²	1	16	yes	—
145	C₂×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂×C₈	—	2	16	no	—
147	C₂×C₈	—	2	8	no	—
148	C₂×C₈	—	2	4	no	—
149	C₂×C₈	—	2	4	no	—
150	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
151	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
152	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
153	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
154	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
155	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
156	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
157	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
158	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
159	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
160	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
161	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	16	yes	—
163	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	16	yes	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
166	C₄²	—	2	4	no	—
167	C₄²	—	2	16	no	—
168	C₄²	—	2	8	no	—
169	C₄²	—	8	8	no	—
170	C₄²	C₂×C₄²	1	8	yes	—
171	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
172	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
175	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
176	C₄²	C₄×Q₈	1	4	yes	—
177	C₂³	—	2	4	no	—
178	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
179	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
181	C₂³	C₄×#41	1	4	yes	—
182	C₂×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₄	—	2	16	no	—
186	C₂×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₄	—	4	16	no	—
189	C₂×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂×C₄	—	4	16	no	—
191	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
193	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
194	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
196	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
197	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
199	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
200	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
202	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
206	C₈	—	2	4	no	—
207	C₈	—	2	16	no	—
208	C₈	C₄³	1	4	yes	—
209	C₈	C₄³	1	4	yes	—
210	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
211	C₂²	—	2	8	no	—
212	C₂²	—	2	2	no	—
213	C₂²	—	2	2	no	—
214	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²	C₄×#117	1	2	yes	—
216	C₂²	C₄²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²	C₄²×Q₈	1	2	yes	—
218	C₂²	#2957	1	4	yes	—
219	C₄	—	2	4	no	—
220	C₄	—	2	4	no	—
221	C₄	—	4	8	no	—
222	C₄	—	4	16	no	—
223	C₄	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
224	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
226	C₄	C₄²×D₄	1	2	yes	—
227	C₄	C₄²×Q₈	1	2	yes	—
228	C₂	—	2	2	no	—
229	C₂	—	2	2	no	—
230	C₂	C₄²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂	#20446	1	2	yes	—
232	C₂	#20514	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₄	C₂×C₄³
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
18. C₄×#108	C₄	semidirect
19. C₄×#107	C₄	semidirect
20. C₄×#106	C₄	semidirect
21. #1772	C₄	semidirect
26. #1726	C₄	semidirect
109. #108	C₄²	semidirect
121. C₄×C₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#108	2
C₄×#427	2
C₂×#1772	2
#20331	2
C₂×#1726	2
#10707	2
#10701	2