Subgroups — #353272

Order 512.

1730 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 223 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal
2	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄²×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₈×#95	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₄×#336	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	8	yes	—
9	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
12	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	32	yes	complemented
16	C₄×C₄⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
17	#1744	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
22	C₄×#95	C₄	1	4	yes	—
23	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
25	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
26	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
27	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
29	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	C₂×C₄×C₈	—	4	8	no	—
37	C₂×C₄×C₈	—	4	8	no	—
38	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
39	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	32	yes	—
41	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
43	C₄×C₄⋊C₄	C₈	1	32	yes	complemented
44	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
45	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₄³	—	4	4	no	—
48	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	#336	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	#336	C₂×C₄	1	32	yes	—
54	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
56	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
57	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
58	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
68	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
69	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
70	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
71	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	16	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	32	yes	—
74	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
76	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
82	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
83	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
84	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
85	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
86	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	32	yes	—
87	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	16	yes	—
88	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	16	yes	—
92	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₄⋊C₈	C₄²	1	32	yes	complemented
97	C₄×C₈	—	4	8	no	—
98	C₄×C₈	—	4	32	no	—
99	C₄×C₈	C₄²	1	32	yes	complemented
100	#95	C₄²	1	16	yes	—
101	#95	C₂×C₈	1	32	yes	—
102	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
112	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
113	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
114	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	16	yes	—
115	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
116	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
117	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
118	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
119	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
120	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	32	yes	—
121	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
122	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
123	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
127	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
128	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
129	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
130	C₂×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂×C₈	—	2	16	no	—
132	C₂×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂×C₈	—	2	8	no	—
134	C₂×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂×C₈	—	2	8	no	—
136	C₂×C₈	—	2	8	no	—
137	C₂×C₈	—	2	8	no	—
138	C₂×C₈	—	2	16	no	—
139	C₂×C₈	—	2	8	no	—
140	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
141	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	16	yes	—
142	C₄⋊C₄	C₄×C₈	1	64	yes	complemented
143	C₄²	—	2	2	no	—
144	C₄²	—	2	16	no	—
145	C₄²	—	2	2	no	—
146	C₄²	—	2	4	no	—
147	C₄²	—	2	4	no	—
148	C₄²	—	2	4	no	—
149	C₄²	—	2	16	no	—
150	C₄²	—	4	8	no	—
151	C₄²	—	4	32	no	—
152	C₄²	C₄×C₈	1	32	yes	complemented
153	C₄²	C₂×C₄²	1	8	yes	—
154	C₄²	C₂×C₄²	1	8	yes	—
155	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
156	C₂³	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
157	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
158	C₂³	#519	1	1	yes	characteristic
159	C₂³	#520	1	2	yes	—
160	C₂³	C₂³×C₈	1	4	yes	—
161	C₂³	#568	1	4	yes	—
162	C₂×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄	—	2	16	no	—
166	C₂×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄	—	2	32	no	—
169	C₂×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₄	—	2	32	no	—
172	C₂×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄	—	2	16	no	—
175	C₂×C₄	C₄³	1	4	yes	—
176	C₂×C₄	C₄³	1	4	yes	—
177	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	8	yes	—
178	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	8	yes	—
179	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	32	yes	—
180	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	8	yes	—
181	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	16	yes	—
182	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
183	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	2	yes	—
184	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
185	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄	#519	1	4	yes	—
187	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
189	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
190	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
191	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
192	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
193	C₈	—	2	16	no	—
194	C₈	—	2	16	no	—
195	C₂²	C₂×C₄³	1	1	yes	characteristic
196	C₂²	#2274	1	1	yes	characteristic
197	C₂²	#2274	1	1	yes	characteristic
198	C₂²	#2275	1	2	yes	—
199	C₂²	#2276	1	2	yes	—
200	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	2	yes	—
201	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	4	yes	—
202	C₂²	#2873	1	2	yes	—
203	C₂²	#2875	1	4	yes	—
204	C₂²	#2972	1	4	yes	—
205	C₂²	#2982	1	4	yes	—
206	C₂²	#2988	1	8	yes	—
207	C₄	—	2	8	no	—
208	C₄	—	2	8	no	—
209	C₄	—	2	32	no	—
210	C₄	—	2	4	no	—
211	C₄	C₄²×C₈	1	8	yes	—
212	C₄	#2274	1	4	yes	—
213	C₄	#2275	1	2	yes	—
214	C₄	#2276	1	2	yes	—
215	C₂	#13750	1	1	yes	characteristic
216	C₂	C₂×C₄²×C₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂	#20331	1	1	yes	characteristic
218	C₂	#20533	1	2	yes	—
219	C₂	#20543	1	2	yes	—
220	C₂	#20555	1	4	yes	—
221	C₂	#20569	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂	C₂×C₄²×C₈
socle, prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
15. C₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
16. C₄×C₄⋊C₈	C₄	semidirect
17. #1744	C₄	semidirect
43. C₄×C₄⋊C₄	C₈	semidirect
96. C₄⋊C₈	C₄²	semidirect
99. C₄×C₈	C₄²	semidirect
142. C₄⋊C₄	C₄×C₈	semidirect
152. C₄²	C₄×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
C₂×#1744	2
C₄²×C₄⋊C₄	2
C₈×#95	2
C₄×#336	2