Subgroups — #353286

Order 512.

7298 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×C₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#407	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1728	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#10712	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂⁵×C₄	C₄	1	2	yes	—
6	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂³×C₄²	—	2	16	no	—
9	C₂³×C₄²	—	2	8	no	—
10	C₂³×C₄²	C₄	1	2	yes	—
11	C₂³×C₄²	C₄	1	4	yes	—
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#407	—	2	8	no	—
15	C₂×#407	—	2	8	no	—
16	C₂×#407	C₄	1	16	yes	complemented
17	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
18	#1728	—	2	16	no	—
19	C₂×#336	C₂²	1	16	yes	complemented
20	C₂⁶	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
22	C₂⁴×C₄	—	2	16	no	—
23	C₂⁴×C₄	—	2	32	no	—
24	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
25	C₂⁴×C₄	—	2	8	no	—
26	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
27	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
28	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
31	C₂⁴×C₄	D₄	1	4	yes	—
32	C₂⁴×C₄	D₄	1	8	yes	—
33	C₂⁴×C₄	Q₈	1	4	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
41	C₂³×C₈	C₂³	1	8	yes	—
42	C₂²×C₄²	—	2	128	no	—
43	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
44	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
45	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
46	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
47	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
48	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
49	C₂²×C₄²	—	2	32	no	—
50	C₂²×C₄²	—	2	32	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	16	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
55	#407	—	2	64	no	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
59	#336	—	2	32	no	—
60	C₂⁵	—	2	4	no	—
61	C₂⁵	—	2	4	no	—
62	C₂⁵	—	2	16	no	—
63	C₂⁵	C₄²	1	4	yes	—
64	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
65	C₂⁵	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
66	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	—	2	128	no	—
69	C₂³×C₄	—	2	256	no	—
70	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
71	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
72	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
73	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
74	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	64	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₄²	1	8	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
95	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
97	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
98	C₂³×C₄	M₁₆	1	32	yes	complemented
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
123	C₂×C₄²	—	2	64	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	128	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	128	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	64	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
135	C₂²⋊C₈	—	2	64	no	—
136	C₂⁴	—	2	64	no	—
137	C₂⁴	—	2	64	no	—
138	C₂⁴	—	2	4	no	—
139	C₂⁴	—	2	4	no	—
140	C₂⁴	—	2	8	no	—
141	C₂⁴	—	2	8	no	—
142	C₂⁴	—	2	16	no	—
143	C₂⁴	—	2	8	no	—
144	C₂⁴	—	2	16	no	—
145	C₂⁴	—	2	8	no	—
146	C₂⁴	—	2	32	no	—
147	C₂⁴	—	2	32	no	—
148	C₂⁴	—	2	32	no	—
149	C₂⁴	#95	1	16	yes	—
150	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
151	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
152	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
153	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
154	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
155	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
156	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
158	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
159	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	512	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	128	no	—
190	C₂²×C₄	#95	1	16	yes	—
191	C₂²×C₄	#95	1	32	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	32	yes	—
206	C₂²×C₄	#120	1	16	yes	—
207	C₂²×C₄	#121	1	16	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
209	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	32	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
217	M₁₆	—	4	64	no	—
218	C₂×C₈	—	2	16	no	—
219	C₂×C₈	—	2	32	no	—
220	C₂×C₈	—	4	8	no	—
221	C₂×C₈	—	4	16	no	—
222	C₂×C₈	—	4	8	no	—
223	C₄²	—	2	64	no	—
224	C₄²	—	2	32	no	—
225	C₄²	—	2	32	no	—
226	C₂³	—	2	64	no	—
227	C₂³	—	2	128	no	—
228	C₂³	—	2	128	no	—
229	C₂³	—	2	64	no	—
230	C₂³	—	2	8	no	—
231	C₂³	—	2	8	no	—
232	C₂³	—	2	8	no	—
233	C₂³	—	2	16	no	—
234	C₂³	—	2	8	no	—
235	C₂³	—	2	32	no	—
236	C₂³	—	2	8	no	—
237	C₂³	—	2	8	no	—
238	C₂³	—	2	16	no	—
239	C₂³	—	2	32	no	—
240	C₂³	—	2	32	no	—
241	C₂³	—	2	64	no	—
242	C₂³	—	2	8	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	8	no	—
245	C₂³	—	2	4	no	—
246	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
247	C₂³	C₂×#95	1	8	yes	—
248	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
249	C₂³	#379	1	4	yes	—
250	C₂³	#380	1	8	yes	—
251	C₂³	#381	1	4	yes	—
252	C₂³	C₄×M₁₆	1	16	yes	—
253	C₂³	#407	1	16	yes	—
254	C₂³	#423	1	16	yes	—
255	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
256	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂²×M₁₆	1	8	yes	—
261	C₂×C₄	—	2	128	no	—
262	C₂×C₄	—	2	256	no	—
263	C₂×C₄	—	2	16	no	—
264	C₂×C₄	—	2	32	no	—
265	C₂×C₄	—	2	32	no	—
266	C₂×C₄	—	2	32	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	16	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	64	no	—
273	C₂×C₄	—	2	32	no	—
274	C₂×C₄	—	2	32	no	—
275	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
278	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
280	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	#385	1	32	yes	—
282	C₂×C₄	#386	1	32	yes	—
283	C₂×C₄	#407	1	32	yes	complemented
284	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
291	C₈	—	4	16	no	—
292	C₂²	—	2	128	no	—
293	C₂²	—	2	8	no	—
294	C₂²	—	2	16	no	—
295	C₂²	—	2	8	no	—
296	C₂²	—	2	8	no	—
297	C₂²	—	2	16	no	—
298	C₂²	—	2	32	no	—
299	C₂²	—	2	16	no	—
300	C₂²	—	2	32	no	—
301	C₂²	—	2	8	no	—
302	C₂²	—	2	8	no	—
303	C₂²	—	2	16	no	—
304	C₂²	C₂²⋊#95	1	8	yes	—
305	C₂²	#1728	1	16	yes	complemented
306	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
308	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	C₂×#380	1	2	yes	—
310	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	4	yes	—
312	C₂²	C₂×#407	1	4	yes	—
313	C₂²	C₂×#407	1	8	yes	—
314	C₂²	C₂×#423	1	4	yes	—
315	C₂²	#2920	1	8	yes	—
316	C₄	—	2	32	no	—
317	C₄	—	2	8	no	—
318	C₄	C₂²⋊#95	1	8	yes	—
319	C₄	C₂×#385	1	4	yes	—
320	C₄	C₂×#386	1	4	yes	—
321	C₂	—	2	8	no	—
322	C₂	—	2	16	no	—
323	C₂	C₂×C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₂×#1728	1	2	yes	—
325	C₂	C₄×#407	1	4	yes	—
326	C₂	#20579	1	2	yes	—
327	C₂	#20626	1	4	yes	—
328	C₂	#20682	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁶	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1728	C₂	semidirect
4. #10712	C₂	semidirect
16. C₂×#407	C₄	semidirect
19. C₂×#336	C₂²	semidirect
40. C₂²×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
58. C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
98. C₂³×C₄	M₁₆	semidirect
122. C₂²×C₈	C₂²×C₄	semidirect
283. C₂×C₄	#407	semidirect
305. C₂²	#1728	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×C₄²	2
C₂²×#407	2
C₂×#1728	2
#10712	2