Subgroups — #353315

Order 512.

5138 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 293 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2309	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1740	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#10725	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
6	C₂×#518	—	2	8	no	—
7	C₂×#518	—	2	16	no	—
8	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	8	yes	complemented
9	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
12	#2309	—	2	8	no	—
13	#2309	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×#390	—	2	8	no	—
15	C₂×#379	C₂²	1	8	yes	—
16	#1740	—	2	16	no	—
17	C₂×#342	C₂²	1	16	yes	—
18	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
19	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
20	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
21	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
22	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
23	C₂³×D₄	D₄	1	4	yes	—
24	C₂³×D₄	D₄	1	8	yes	—
25	C₂³×D₄	Q₈	1	4	yes	—
26	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
27	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	#518	—	2	64	no	—
29	#518	—	2	64	no	—
30	C₂×C₄×D₄	—	2	32	no	—
31	C₂×C₄×D₄	—	2	32	no	—
32	C₂×C₄×D₄	—	2	32	no	—
33	C₂×#117	—	2	8	no	—
34	C₂×#117	—	2	8	no	—
35	C₂×#117	—	2	8	no	—
36	C₂×#117	—	2	16	no	—
37	C₂×#117	—	2	16	no	—
38	C₂×#117	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
39	C₂×#117	D₄	1	16	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
43	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
44	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
45	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#390	—	2	64	no	—
51	#379	—	2	16	no	—
52	#379	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
53	#342	—	2	32	no	—
54	C₂⁵	—	2	8	no	—
55	C₂⁵	—	2	8	no	—
56	C₂⁵	—	8	8	no	—
57	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
58	C₂⁵	C₂²×C₄	1	8	yes	—
59	C₂⁵	C₂×D₄	1	8	yes	—
60	C₂⁵	C₂×D₄	1	4	yes	—
61	C₂⁵	C₂×Q₈	1	4	yes	—
62	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
64	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
65	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
66	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
67	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
68	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
69	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
70	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
71	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
74	C₂²×D₄	C₄²	1	16	yes	—
75	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
76	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
77	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
78	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
79	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
82	C₂³×C₄	—	8	16	no	—
83	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
91	C₄×D₄	—	2	256	no	—
92	#117	—	2	32	no	—
93	#117	—	2	32	no	—
94	#117	—	2	64	no	—
95	#117	—	4	32	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
102	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
114	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
117	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
118	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
119	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
120	C₂⁴	—	2	8	no	—
121	C₂⁴	—	2	8	no	—
122	C₂⁴	—	2	32	no	—
123	C₂⁴	—	2	16	no	—
124	C₂⁴	—	2	16	no	—
125	C₂⁴	—	2	16	no	—
126	C₂⁴	—	2	16	no	—
127	C₂⁴	—	4	16	no	—
128	C₂⁴	—	4	4	no	—
129	C₂⁴	—	4	32	no	—
130	C₂⁴	—	8	16	no	—
131	C₂⁴	—	8	8	no	—
132	C₂⁴	—	8	8	no	—
133	C₂⁴	—	8	32	no	—
134	C₂⁴	—	8	32	no	—
135	C₂⁴	C₂×C₄²	1	8	yes	—
136	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
137	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
138	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
139	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
140	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
142	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
143	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
145	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂⁴	C₂×#41	1	4	yes	—
147	C₂×D₄	—	2	32	no	—
148	C₂×D₄	—	2	32	no	—
149	C₂×D₄	—	2	32	no	—
150	C₂×D₄	—	2	32	no	—
151	C₂×D₄	—	2	32	no	—
152	C₂×D₄	—	2	32	no	—
153	C₂×D₄	—	2	64	no	—
154	C₂×D₄	—	2	64	no	—
155	C₂×D₄	—	2	64	no	—
156	C₂×D₄	—	2	64	no	—
157	C₂×D₄	#95	1	64	yes	—
158	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
167	C₂²×C₄	—	8	64	no	—
168	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
176	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	32	yes	—
179	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
180	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
181	C₂²×C₄	#121	1	16	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
183	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
184	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
185	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	8	64	no	—
192	C₄²	—	2	32	no	—
193	C₄²	—	4	32	no	—
194	C₂³	—	2	4	no	—
195	C₂³	—	2	8	no	—
196	C₂³	—	2	32	no	—
197	C₂³	—	2	16	no	—
198	C₂³	—	2	8	no	—
199	C₂³	—	2	16	no	—
200	C₂³	—	2	8	no	—
201	C₂³	—	2	32	no	—
202	C₂³	—	2	32	no	—
203	C₂³	—	4	4	no	—
204	C₂³	—	4	8	no	—
205	C₂³	—	4	2	no	—
206	C₂³	—	4	2	no	—
207	C₂³	—	4	8	no	—
208	C₂³	—	4	16	no	—
209	C₂³	—	4	16	no	—
210	C₂³	—	4	32	no	—
211	C₂³	—	4	32	no	—
212	C₂³	—	4	32	no	—
213	C₂³	—	4	32	no	—
214	C₂³	—	8	32	no	—
215	C₂³	—	8	32	no	—
216	C₂³	—	8	64	no	—
217	C₂³	—	8	32	no	—
218	C₂³	—	8	32	no	—
219	C₂³	C₂×#95	1	16	yes	—
220	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
221	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
227	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
228	C₂³	C₂×#120	1	4	yes	—
229	C₂³	C₂×#121	1	4	yes	—
230	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
231	C₂³	C₂×#123	1	4	yes	—
232	D₄	—	2	128	no	—
233	C₂×C₄	—	2	16	no	—
234	C₂×C₄	—	4	16	no	—
235	C₂×C₄	—	4	16	no	—
236	C₂×C₄	—	4	16	no	—
237	C₂×C₄	—	4	32	no	—
238	C₂×C₄	—	4	16	no	—
239	C₂×C₄	—	8	64	no	—
240	C₂×C₄	—	8	16	no	—
241	C₂×C₄	—	8	16	no	—
242	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
243	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
244	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
245	C₂×C₄	#379	1	8	yes	—
246	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
247	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
248	C₂×C₄	#381	1	8	yes	—
249	C₂×C₄	#385	1	16	yes	—
250	C₂×C₄	#385	1	16	yes	—
251	C₂×C₄	#386	1	16	yes	—
252	C₂×C₄	#386	1	16	yes	—
253	C₂²	—	2	4	no	—
254	C₂²	—	2	8	no	—
255	C₂²	—	2	4	no	—
256	C₂²	—	2	2	no	—
257	C₂²	—	2	4	no	—
258	C₂²	—	2	2	no	—
259	C₂²	—	2	8	no	—
260	C₂²	—	2	4	no	—
261	C₂²	—	2	32	no	—
262	C₂²	—	2	16	no	—
263	C₂²	—	4	8	no	—
264	C₂²	—	4	4	no	—
265	C₂²	—	4	4	no	—
266	C₂²	—	4	32	no	—
267	C₂²	—	4	32	no	—
268	C₂²	—	4	16	no	—
269	C₂²	—	4	16	no	—
270	C₂²	—	8	32	no	—
271	C₂²	—	8	32	no	—
272	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
273	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
275	C₂²	C₂×#380	1	2	yes	—
276	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	C₂×#385	1	4	yes	—
278	C₂²	C₂×#386	1	4	yes	—
279	C₂²	#2883	1	4	yes	—
280	C₄	—	4	16	no	—
281	C₄	—	8	16	no	—
282	C₄	C₂²⋊#95	1	16	yes	—
283	C₂	—	2	4	no	—
284	C₂	—	2	2	no	—
285	C₂	—	2	2	no	—
286	C₂	—	2	4	no	—
287	C₂	—	4	16	no	—
288	C₂	C₂×C₂²⋊#95	1	1	yes	characteristic
289	C₂	#20354	1	2	yes	—
290	C₂	#20586	1	2	yes	—
291	C₂	#20690	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂⁵	C₂⁴
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂⁴×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁵ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1740	C₂	semidirect
4. #10725	C₂	semidirect
8. C₂²×C₄×D₄	C₄	semidirect
13. #2309	C₄	semidirect
38. C₂×#117	C₂×C₄	semidirect
52. #379	C₂×C₄	semidirect
101. C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	semidirect
119. C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#518	2
C₂×#2309	2
C₂×#1740	2
#10725	2