Subgroups — #353472

Order 512.

2986 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄³	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1728	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1728	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1728	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10795	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
7	C₂³×C₄²	C₄	1	4	yes	—
8	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄³	—	2	8	no	—
12	C₂×C₄³	C₄	1	4	yes	—
13	C₂×C₄³	C₂²	1	4	yes	—
14	#1728	—	2	8	no	—
15	#1728	—	2	8	no	—
16	#1728	C₄	1	16	yes	complemented
17	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
21	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
22	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
23	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
25	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
26	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
30	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
31	C₂³×C₈	C₂³	1	8	yes	—
32	C₂²×C₄²	—	2	16	no	—
33	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
34	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
35	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
37	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
38	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
39	C₂²×C₄²	—	2	32	no	—
40	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
47	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
52	C₄³	—	2	16	no	—
53	C₄³	—	2	16	no	—
54	#336	—	2	16	no	—
55	#336	—	2	16	no	—
56	#336	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
57	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
59	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
60	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
61	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
62	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
63	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
64	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
67	C₂³×C₄	C₄²	1	8	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
69	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
80	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
81	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
84	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
86	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
87	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
88	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
89	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
96	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
97	C₂×C₄²	—	2	128	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
102	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
105	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
107	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
108	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	32	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
121	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
122	C₂×C₄²	M₁₆	1	32	yes	complemented
123	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
127	C₂⁴	—	2	8	no	—
128	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
129	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
132	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
133	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
134	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
135	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
157	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	#117	1	16	yes	—
164	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
169	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
170	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
171	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
173	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
174	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
175	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
176	C₂²×C₄	#126	1	16	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
188	M₁₆	—	4	64	no	—
189	C₂×C₈	—	2	16	no	—
190	C₂×C₈	—	2	16	no	—
191	C₂×C₈	—	2	16	no	—
192	C₂×C₈	—	4	8	no	—
193	C₂×C₈	—	4	8	no	—
194	C₂×C₈	—	4	8	no	—
195	C₂×C₈	—	4	8	no	—
196	C₄²	—	2	64	no	—
197	C₄²	—	2	16	no	—
198	C₄²	—	2	8	no	—
199	C₄²	—	2	8	no	—
200	C₄²	—	2	16	no	—
201	C₄²	—	2	16	no	—
202	C₄²	—	2	16	no	—
203	C₄²	—	2	16	no	—
204	C₄²	—	2	64	no	—
205	C₂³	—	2	8	no	—
206	C₂³	—	2	8	no	—
207	C₂³	—	2	8	no	—
208	C₂³	—	2	8	no	—
209	C₂³	—	2	8	no	—
210	C₂³	—	2	8	no	—
211	C₂³	—	2	8	no	—
212	C₂³	#376	1	4	yes	—
213	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂³	#380	1	4	yes	—
216	C₂³	#381	1	4	yes	—
217	C₂³	#382	1	4	yes	—
218	C₂³	#383	1	4	yes	—
219	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
220	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
223	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
224	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
225	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
226	C₂³	C₂²×M₁₆	1	8	yes	—
227	C₂×C₄	—	2	64	no	—
228	C₂×C₄	—	2	64	no	—
229	C₂×C₄	—	2	64	no	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂×C₄	—	2	16	no	—
233	C₂×C₄	—	2	16	no	—
234	C₂×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂×C₄	—	2	16	no	—
237	C₂×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂×C₄	—	2	16	no	—
239	C₂×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
243	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
244	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
246	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
247	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
248	C₂×C₄	#383	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	#387	1	32	yes	—
250	C₂×C₄	#388	1	32	yes	—
251	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	16	yes	—
252	C₂×C₄	#407	1	16	yes	—
253	C₂×C₄	#423	1	16	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
264	C₈	—	4	16	no	—
265	C₂²	—	2	8	no	—
266	C₂²	—	2	8	no	—
267	C₂²	—	2	8	no	—
268	C₂²	—	2	8	no	—
269	C₂²	—	2	8	no	—
270	C₂²	—	2	8	no	—
271	C₂²	—	2	8	no	—
272	C₂²	#1434	1	8	yes	—
273	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
274	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	C₂×#383	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	4	yes	—
281	C₂²	C₂×#407	1	4	yes	—
282	C₂²	C₂×#423	1	4	yes	—
283	C₂²	#2920	1	4	yes	—
284	C₂²	#2920	1	4	yes	—
285	C₂²	#2920	1	4	yes	—
286	C₂²	#2920	1	4	yes	—
287	C₄	—	2	16	no	—
288	C₄	—	2	16	no	—
289	C₄	—	2	16	no	—
290	C₄	#1434	1	8	yes	—
291	C₄	C₂×#387	1	4	yes	—
292	C₄	C₂×#388	1	4	yes	—
293	C₂	—	2	8	no	—
294	C₂	C₂×#1434	1	1	yes	characteristic
295	C₂	#20364	1	2	yes	—
296	C₂	C₄×#407	1	2	yes	—
297	C₂	C₄×#423	1	2	yes	—
298	C₂	#20626	1	2	yes	—
299	C₂	#20682	1	2	yes	—
300	C₂	#20752	1	2	yes	—
301	C₂	#20772	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10795	C₂	semidirect
16. #1728	C₄	semidirect
56. #336	C₂×C₄	semidirect
122. C₂×C₄²	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄³	2
C₂×#1728	2
#10795	2