Subgroups — #35348

Order 256.

2461 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 377 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#534	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2534	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2424	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#2411	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2410	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2408	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2315	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2308	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂⁶	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
18	#534	—	2	8	no	—
19	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
21	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#120	—	2	8	no	—
24	C₂×#120	—	2	8	no	—
25	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#518	—	2	8	no	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
44	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#388	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
59	C₂⁵	—	2	4	no	—
60	C₂⁵	—	2	4	no	—
61	C₂⁵	—	2	4	no	—
62	C₂⁵	—	4	8	no	—
63	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
71	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
76	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
77	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
78	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
79	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	complemented
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
93	#123	—	2	8	no	—
94	#123	—	2	8	no	—
95	#121	—	2	16	no	—
96	#121	—	4	16	no	—
97	#120	—	2	8	no	—
98	#120	—	2	16	no	—
99	#120	—	2	8	no	—
100	#120	—	2	16	no	—
101	#120	—	2	16	no	—
102	#120	—	2	16	no	—
103	C₄×D₄	—	2	16	no	—
104	C₄×D₄	—	2	16	no	—
105	#117	—	2	8	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	complemented
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	complemented
133	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	complemented
134	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
135	#95	C₂³	1	8	yes	complemented
136	C₂⁴	—	2	4	no	—
137	C₂⁴	—	2	4	no	—
138	C₂⁴	—	2	4	no	—
139	C₂⁴	—	2	8	no	—
140	C₂⁴	—	2	8	no	—
141	C₂⁴	—	2	8	no	—
142	C₂⁴	—	2	2	no	—
143	C₂⁴	—	2	2	no	—
144	C₂⁴	—	2	4	no	—
145	C₂⁴	—	2	4	no	—
146	C₂⁴	—	2	4	no	—
147	C₂⁴	—	2	4	no	—
148	C₂⁴	—	2	2	no	—
149	C₂⁴	—	2	4	no	—
150	C₂⁴	—	2	4	no	—
151	C₂⁴	—	2	2	no	—
152	C₂⁴	—	2	2	no	—
153	C₂⁴	—	4	4	no	—
154	C₂⁴	—	4	4	no	—
155	C₂⁴	—	4	4	no	—
156	C₂⁴	—	4	4	no	—
157	C₂⁴	—	4	4	no	—
158	C₂⁴	—	4	4	no	—
159	C₂⁴	—	4	32	no	—
160	C₂⁴	—	4	32	no	—
161	C₂⁴	—	4	32	no	—
162	C₂⁴	—	4	16	no	—
163	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
166	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
167	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
168	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
173	C₂×D₄	—	2	32	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	16	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	16	no	—
186	C₂×D₄	—	2	16	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	2	16	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	32	no	—
193	C₂×D₄	—	4	32	no	—
194	C₂×D₄	—	4	16	no	—
195	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
196	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
212	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
237	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
238	C₄²	—	2	8	no	—
239	C₂³	—	2	4	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	16	no	—
243	C₂³	—	2	16	no	—
244	C₂³	—	2	16	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	—	4	8	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	—	4	8	no	—
263	C₂³	—	4	16	no	—
264	C₂³	—	4	16	no	—
265	C₂³	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	4	16	no	—
267	C₂³	—	4	16	no	—
268	C₂³	—	4	16	no	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	8	no	—
271	C₂³	—	4	8	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	128	no	—
274	C₂³	—	4	8	no	—
275	C₂³	—	4	8	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	8	4	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	—	8	4	no	—
281	C₂³	—	8	4	no	—
282	C₂³	#121	1	16	yes	complemented
283	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
293	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
294	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
295	D₄	—	2	16	no	—
296	D₄	—	2	16	no	—
297	D₄	—	4	32	no	—
298	D₄	—	4	32	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	4	8	no	—
301	D₄	—	8	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	8	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	4	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	4	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	2	8	no	—
335	C₂²	—	2	8	no	—
336	C₂²	—	2	8	no	—
337	C₂²	—	4	16	no	—
338	C₂²	—	4	32	no	—
339	C₂²	—	4	32	no	—
340	C₂²	—	4	32	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	4	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	8	8	no	—
352	C₂²	—	8	8	no	—
353	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
354	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
355	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
356	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	2	8	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	4	4	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₂	—	2	4	no	—
367	C₂	—	2	4	no	—
368	C₂	—	2	4	no	—
369	C₂	—	4	8	no	—
370	C₂	—	4	4	no	—
371	C₂	—	8	2	no	—
372	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#3484	1	2	yes	—
374	C₂	#3484	1	2	yes	—
375	C₂	#3490	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#534	C₂	semidirect
2. C₂²×#120	C₂	semidirect
3. C₂²×#120	C₂	semidirect
4. C₂×#518	C₂	semidirect
5. #2534	C₂	semidirect
6. #2424	C₂	semidirect
7. #2411	C₂	semidirect
8. #2410	C₂	semidirect
9. #2408	C₂	semidirect
10. #2315	C₂	semidirect
11. #2308	C₂	semidirect
12. C₂×#379	C₂	semidirect
16. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
17. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
19. C₂×#123	C₂²	semidirect
20. C₂×#123	C₂²	semidirect
21. C₂×#121	C₂²	semidirect
22. C₂×#121	C₂²	semidirect
27. C₂×#120	C₂²	semidirect
28. C₂×#120	C₂²	semidirect
29. C₂×#120	C₂²	semidirect
30. C₂×#120	C₂²	semidirect
32. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
34. C₂×#117	C₂²	semidirect
39. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
40. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
41. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
42. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
43. #396	C₂²	semidirect
44. #394	C₂²	semidirect
45. #394	C₂²	semidirect
46. #392	C₂²	semidirect
47. #390	C₂²	semidirect
48. #388	C₂²	semidirect
49. #386	C₂²	semidirect
50. #386	C₂²	semidirect
51. #386	C₂²	semidirect
52. #385	C₂²	semidirect
53. #385	C₂²	semidirect
54. #381	C₂²	semidirect
55. #380	C₂²	semidirect
56. #379	C₂²	semidirect
57. #379	C₂²	semidirect
58. #379	C₂²	semidirect
78. C₂²×D₄	D₄	semidirect
85. C₂²×D₄	C₂³	semidirect
92. C₂³×C₄	C₂³	semidirect
106. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
107. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
108. C₂×C₄⋊C₄	C₂³	semidirect
116. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect
129. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
130. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
131. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
132. C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	semidirect
133. C₂×C₄²	C₂³	semidirect
134. #95	C₂³	semidirect
135. #95	C₂³	semidirect
165. C₂⁴	C₂×D₄	semidirect
196. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
211. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
212. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
237. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
282. C₂³	#121	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#534	2
C₂²×#120	2
C₂×#518	2
#2534	2
#2424	2
#2411	2
#2410	2
#2408	2
#2315	2
#2308	2
C₂×#379	2