Subgroups — #353487

Order 512.

2174 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1740	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1740	C₂	1	2	yes	maximal
4	#13756	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10801	C₂	1	8	yes	maximal
6	C₂²×#117	C₂²	1	4	yes	—
7	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₄×#117	—	2	4	no	—
11	C₄×#117	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#376	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×C₄³	C₄	1	2	yes	complemented
16	#1740	—	2	8	no	—
17	#1740	C₄	1	16	yes	complemented
18	C₂×#342	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#342	C₂²	1	8	yes	—
20	C₄⋊#95	—	2	4	no	—
21	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
22	C₄×#95	—	2	4	no	—
23	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
24	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#117	—	2	2	no	—
26	C₂×#117	—	2	2	no	—
27	C₂×#117	—	2	2	no	—
28	C₂×#117	—	2	2	no	—
29	C₂×#117	—	2	4	no	—
30	C₂×#117	—	2	4	no	—
31	C₂×#117	—	2	8	no	—
32	C₂×#117	—	2	8	no	—
33	C₂×#117	—	2	8	no	—
34	C₂×#117	—	2	8	no	—
35	C₂×#117	—	2	8	no	—
36	C₂×#117	C₂×C₄	1	16	yes	—
37	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
39	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
44	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
57	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
58	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
60	#376	—	2	4	no	—
61	#376	—	2	4	no	—
62	C₂×#95	—	2	16	no	—
63	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₄³	—	2	4	no	—
65	C₄³	—	2	4	no	—
66	#342	—	2	16	no	—
67	#342	C₂×C₄	1	32	yes	—
68	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
70	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
71	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
72	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
73	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
80	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
86	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
89	#117	—	2	16	no	—
90	#117	—	2	16	no	—
91	#117	—	2	8	no	—
92	#117	—	2	8	no	—
93	#117	—	2	8	no	—
94	#117	—	2	8	no	—
95	#117	—	2	32	no	—
96	#117	—	2	32	no	—
97	#117	—	4	16	no	—
98	#117	—	4	16	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
121	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
140	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
141	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
148	#95	—	2	16	no	—
149	#95	—	4	32	no	—
150	C₂⁴	—	4	4	no	—
151	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂⁴	C₂³×C₄	1	2	yes	—
153	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
154	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂⁴	C₂×#41	1	2	yes	—
157	C₂⁴	C₂×#41	1	2	yes	—
158	C₂⁴	C₂×#41	1	2	yes	—
159	C₂⁴	C₂×#41	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	#117	1	16	yes	—
197	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
202	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	#126	1	16	yes	—
214	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
224	C₄²	—	2	8	no	—
225	C₄²	—	2	8	no	—
226	C₄²	—	2	8	no	—
227	C₄²	—	2	8	no	—
228	C₄²	—	2	4	no	—
229	C₄²	—	2	4	no	—
230	C₄²	—	2	16	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	4	no	—
233	C₄²	—	4	16	no	—
234	C₄²	—	4	32	no	—
235	C₄²	—	4	16	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	8	no	—
238	C₂³	—	4	4	no	—
239	C₂³	—	4	4	no	—
240	C₂³	—	4	4	no	—
241	C₂³	—	4	2	no	—
242	C₂³	—	4	2	no	—
243	C₂³	—	4	4	no	—
244	C₂³	—	4	4	no	—
245	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
246	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
249	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
251	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
252	C₂³	C₂×#117	1	4	yes	—
253	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
254	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
255	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
256	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
257	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
258	C₂³	C₂×#123	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂×#124	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂×#125	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂×#126	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	4	32	no	—
271	C₂×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	32	no	—
280	C₂×C₄	—	4	16	no	—
281	C₂×C₄	—	8	16	no	—
282	C₂×C₄	—	8	16	no	—
283	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	#383	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	#383	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	#387	1	16	yes	—
301	C₂×C₄	#387	1	16	yes	—
302	C₂×C₄	#388	1	16	yes	—
303	C₂×C₄	#388	1	16	yes	—
304	C₂×C₄	#410	1	8	yes	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	8	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	8	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	2	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#383	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂×#387	1	4	yes	—
329	C₂²	C₂×#388	1	4	yes	—
330	C₂²	C₂×#410	1	4	yes	—
331	C₄	—	2	8	no	—
332	C₄	—	4	8	no	—
333	C₄	—	4	8	no	—
334	C₄	—	4	4	no	—
335	C₄	—	8	16	no	—
336	C₄	#1434	1	4	yes	—
337	C₄	#1434	1	4	yes	—
338	C₄	#1434	1	8	yes	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	—	2	1	no	—
341	C₂	—	2	1	no	—
342	C₂	—	2	1	no	—
343	C₂	—	2	1	no	—
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	C₂×#1434	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₄×#410	1	2	yes	—
347	C₂	#20632	1	2	yes	—
348	C₂	#20688	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, prime radical, cosocle	C₂⁵	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁵ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
12. C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
14. C₂×#376	C₄	semidirect
15. C₂×C₄³	C₄	semidirect
17. #1740	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#117	2
C₂×#1740	2
#13756	2
#10801	2