Subgroups — #35349

Order 256.

1417 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2579	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2579	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2487	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2450	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2449	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2438	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2437	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2315	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2315	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2308	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	C₂×#386	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
15	C₂×#385	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
23	#518	—	2	8	no	—
24	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#386	C₂²	1	2	yes	—
53	#386	C₂²	1	2	yes	—
54	#386	C₂²	1	4	yes	—
55	#386	C₂²	1	2	yes	—
56	#386	C₂²	1	2	yes	—
57	#386	C₂²	1	4	yes	—
58	#385	C₂²	1	4	yes	—
59	#385	C₂²	1	4	yes	—
60	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
69	#381	C₂²	1	2	yes	—
70	#380	C₂²	1	4	yes	—
71	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
72	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
74	#379	C₂²	1	2	yes	—
75	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	—
76	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
80	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
81	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
84	C₂²×D₄	Q₈	1	8	yes	complemented
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
107	C₄×D₄	—	2	8	no	—
108	C₄×D₄	—	2	8	no	—
109	C₄×D₄	—	2	8	no	—
110	C₄×D₄	—	2	8	no	—
111	#117	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
152	#95	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	#95	C₂³	1	4	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	#95	C₂³	1	4	yes	—
159	#95	C₂³	1	4	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	C₂⁴	—	2	2	no	—
163	C₂⁴	—	2	2	no	—
164	C₂⁴	—	4	2	no	—
165	C₂⁴	—	4	2	no	—
166	C₂⁴	—	4	2	no	—
167	C₂⁴	—	4	2	no	—
168	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂⁴	C₂×Q₈	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
171	C₂⁴	#41	1	4	yes	—
172	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
180	C₂×D₄	—	2	32	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
186	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
260	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	8	2	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	—	8	4	no	—
282	C₂³	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	complemented
283	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
294	Q₈	—	4	16	no	—
295	D₄	—	2	16	no	—
296	D₄	—	2	16	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	—	8	2	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	8	no	—
353	C₂²	—	4	16	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	8	8	no	—
358	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
359	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
360	C₂²	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
361	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
365	C₂²	#585	1	2	yes	—
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₂	—	2	4	no	—
378	C₂	—	2	4	no	—
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	—	4	4	no	—
381	C₂	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#3501	1	2	yes	—
385	C₂	#3505	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2579	C₂	semidirect
4. #2579	C₂	semidirect
5. #2487	C₂	semidirect
6. #2450	C₂	semidirect
7. #2449	C₂	semidirect
8. #2438	C₂	semidirect
9. #2437	C₂	semidirect
10. #2409	C₂	semidirect
11. #2315	C₂	semidirect
12. #2315	C₂	semidirect
15. C₂×#385	C₂	semidirect
16. C₂³×Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
29. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
31. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
32. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
40. #400	C₂²	semidirect
41. #399	C₂²	semidirect
42. #398	C₂²	semidirect
43. #398	C₂²	semidirect
44. #396	C₂²	semidirect
45. #396	C₂²	semidirect
46. #395	C₂²	semidirect
47. #393	C₂²	semidirect
48. #391	C₂²	semidirect
49. #389	C₂²	semidirect
50. #387	C₂²	semidirect
51. #387	C₂²	semidirect
60. #385	C₂²	semidirect
61. #385	C₂²	semidirect
62. #385	C₂²	semidirect
63. #385	C₂²	semidirect
64. #385	C₂²	semidirect
65. #385	C₂²	semidirect
66. #385	C₂²	semidirect
67. #385	C₂²	semidirect
68. #385	C₂²	semidirect
71. #380	C₂²	semidirect
72. #380	C₂²	semidirect
73. #380	C₂²	semidirect
76. C₂×#95	C₂²	semidirect
84. C₂²×D₄	Q₈	semidirect
170. C₂⁴	C₂×Q₈	semidirect
186. C₂×D₄	C₂×Q₈	semidirect
222. C₂²×C₄	C₂×Q₈	semidirect
282. C₂³	C₂²⋊Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#518	2
#2579	2
#2487	2
#2450	2
#2449	2
#2438	2
#2437	2
#2409	2
#2315	2
#2308	2
C₂×#386	2
C₂×#385	2