Subgroups — #353530

Order 512.

1834 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20347	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1733	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1729	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10819	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10818	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#405	—	2	8	no	—
14	C₂×#405	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	#1738	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
19	#1736	C₄	1	8	yes	complemented
20	#1735	C₂²	1	4	yes	—
21	#1733	—	2	8	no	—
22	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
23	#1729	—	2	4	no	—
24	#1729	C₂²	1	4	yes	—
25	#1729	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#336	—	2	4	no	—
27	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
42	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
43	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
46	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	—	2	2	no	—
51	C₂×#117	—	2	4	no	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	—	2	4	no	—
55	C₂×#117	—	2	4	no	—
56	C₂×#117	—	2	4	no	—
57	C₂×#117	—	2	4	no	—
58	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
61	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
68	#405	—	2	32	no	—
69	C₂×#97	—	2	8	no	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	#341	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
74	#340	C₂×C₄	1	16	yes	—
75	#339	—	2	16	no	—
76	#336	—	2	8	no	—
77	#336	—	2	8	no	—
78	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
110	C₂×M₁₆	C₄²	1	16	yes	—
111	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
112	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
137	#117	—	2	8	no	—
138	#117	—	2	16	no	—
139	#117	—	2	8	no	—
140	#117	—	2	8	no	—
141	#117	—	2	4	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	4	4	no	—
146	#117	—	4	4	no	—
147	#117	—	4	4	no	—
148	#117	—	4	4	no	—
149	#117	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	#97	—	2	16	no	—
171	C₄×C₈	—	2	16	no	—
172	C₂⁴	—	4	4	no	—
173	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
175	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
176	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
177	C₂⁴	#126	1	4	yes	—
178	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
193	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
198	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	#126	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	M₁₆	—	2	32	no	—
223	M₁₆	—	2	8	no	—
224	M₁₆	—	2	8	no	—
225	M₁₆	—	4	4	no	—
226	M₁₆	—	4	4	no	—
227	M₁₆	—	4	16	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	32	no	—
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	4	4	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	16	no	—
245	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
246	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	8	no	—
258	C₄²	—	4	4	no	—
259	C₄²	—	4	4	no	—
260	C₄²	—	4	8	no	—
261	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
262	C₂³	—	2	8	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	—	4	4	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
269	C₂³	#381	1	4	yes	—
270	C₂³	#383	1	4	yes	—
271	C₂³	#387	1	8	yes	—
272	C₂³	#388	1	4	yes	—
273	C₂³	#388	1	4	yes	—
274	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂×#126	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	16	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	16	no	—
283	C₂×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂×C₄	—	8	16	no	—
285	C₂×C₄	#376	1	8	yes	—
286	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
287	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
289	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#382	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	#383	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
294	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
295	C₂×C₄	#388	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	#388	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	#388	1	8	yes	—
298	C₂×C₄	#388	1	8	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
317	C₈	—	2	8	no	—
318	C₈	—	2	4	no	—
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	4	8	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	8	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	8	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	8	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	8	no	—
331	C₂²	#1434	1	8	yes	—
332	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#383	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#387	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂×#388	1	2	yes	—
337	C₂²	#2955	1	4	yes	—
338	C₄	—	4	8	no	—
339	C₄	—	8	8	no	—
340	C₄	#1434	1	8	yes	—
341	C₄	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
342	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
344	C₄	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂×#387	1	2	yes	—
346	C₄	C₂×#388	1	2	yes	—
347	C₂	—	2	1	no	—
348	C₂	—	2	8	no	—
349	C₂	—	2	1	no	—
350	C₂	—	2	2	no	—
351	C₂	C₂×#1434	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20444	1	2	yes	—
353	C₂	#21100	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂⁴×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #10819	C₂	semidirect
7. #10818	C₂	semidirect
14. C₂×#405	C₄	semidirect
17. #1738	C₄	semidirect
19. #1736	C₄	semidirect
70. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
73. #341	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#405	2
C₂×#1738	2
#20347	2
C₂×#1733	2
C₂×#1729	2
#10819	2
#10818	2