Subgroups — #35354

Order 256.

1457 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2487	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2483	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2470	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2457	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2455	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2418	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#2405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2403	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#2322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2312	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₄×#120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#123	—	2	8	no	—
20	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
26	#518	—	2	8	no	—
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#394	C₂²	1	4	yes	—
45	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#392	C₂²	1	4	yes	—
48	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#386	C₂²	1	2	yes	—
56	#386	C₂²	1	2	yes	—
57	#386	C₂²	1	2	yes	—
58	#386	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
65	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#385	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
69	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
70	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
71	#379	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	#379	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#379	C₂²	1	2	yes	complemented
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
83	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	#123	—	2	8	no	—
103	#123	—	2	16	no	—
104	#123	—	2	16	no	—
105	#123	—	4	4	no	—
106	#120	—	2	8	no	—
107	#120	—	4	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	8	no	—
109	C₄×D₄	—	2	8	no	—
110	C₄×D₄	—	2	8	no	—
111	C₄×D₄	—	2	8	no	—
112	C₄×D₄	—	4	8	no	—
113	#117	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	#95	C₂³	1	4	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	#95	C₂³	1	4	yes	—
159	#95	C₂³	1	4	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	C₂⁴	—	2	2	no	—
162	C₂⁴	—	2	4	no	—
163	C₂⁴	—	2	2	no	—
164	C₂⁴	—	2	4	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	2	4	no	—
167	C₂⁴	—	4	2	no	—
168	C₂⁴	—	4	2	no	—
169	C₂⁴	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	—	4	2	no	—
171	C₂⁴	—	4	2	no	—
172	C₂⁴	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
174	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂×D₄	—	2	32	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	16	no	—
194	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
257	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	8	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	8	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	16	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	8	8	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	8	no	—
289	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
293	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
294	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
296	D₄	—	2	16	no	—
297	D₄	—	2	16	no	—
298	D₄	—	4	16	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	16	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	2	no	—
332	C₂×C₄	—	8	2	no	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	8	no	—
348	C₂²	—	2	8	no	—
349	C₂²	—	4	16	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	8	8	no	—
359	C₂²	—	8	8	no	—
360	C₂²	#525	1	4	yes	—
361	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
363	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
364	C₂²	#585	1	2	yes	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	4	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₂	—	2	4	no	—
376	C₂	—	4	4	no	—
377	C₂	—	4	2	no	—
378	C₂	—	4	4	no	—
379	C₂	—	4	2	no	—
380	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#3513	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2403	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#123	C₂	semidirect
2. C₂×#518	C₂	semidirect
3. #2534	C₂	semidirect
4. #2487	C₂	semidirect
5. #2483	C₂	semidirect
6. #2470	C₂	semidirect
7. #2457	C₂	semidirect
8. #2455	C₂	semidirect
9. #2418	C₂	semidirect
10. #2405	C₂	semidirect
11. #2405	C₂	semidirect
13. #2322	C₂	semidirect
14. #2312	C₂	semidirect
15. C₄×#120	C₂	semidirect
18. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
22. C₂×#123	C₂²	semidirect
23. C₂×#123	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
32. C₂×#117	C₂²	semidirect
33. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
34. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
38. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
39. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
40. #400	C₂²	semidirect
41. #399	C₂²	semidirect
42. #397	C₂²	semidirect
43. #396	C₂²	semidirect
45. #394	C₂²	semidirect
46. #394	C₂²	semidirect
48. #389	C₂²	semidirect
49. #389	C₂²	semidirect
50. #388	C₂²	semidirect
51. #388	C₂²	semidirect
52. #388	C₂²	semidirect
53. #388	C₂²	semidirect
54. #387	C₂²	semidirect
58. #386	C₂²	semidirect
59. #386	C₂²	semidirect
60. #386	C₂²	semidirect
61. #385	C₂²	semidirect
62. #385	C₂²	semidirect
63. #385	C₂²	semidirect
64. #385	C₂²	semidirect
65. #385	C₂²	semidirect
66. #385	C₂²	semidirect
67. #381	C₂²	semidirect
68. #381	C₂²	semidirect
69. #380	C₂²	semidirect
70. #380	C₂²	semidirect
73. #379	C₂²	semidirect
74. #379	C₂²	semidirect
75. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
76. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
128. C₂×C₂²⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#123	2
C₂×#518	2
#2534	2
#2487	2
#2483	2
#2470	2
#2457	2
#2455	2
#2418	2
#2405	2
#2403	2
#2322	2
#2312	2
C₄×#120	2