Subgroups — #353540

Order 512.

1902 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 267 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1738	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1738	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1728	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10823	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10822	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	—
13	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#1738	—	2	8	no	—
16	#1738	C₄	1	16	yes	complemented
17	C₂×#341	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#341	C₂²	1	8	yes	—
19	#1728	—	2	4	no	—
20	#1728	C₂²	1	4	yes	—
21	#1728	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#336	—	2	4	no	—
23	C₂⁴×C₄	Q₈	1	2	yes	—
24	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
26	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
41	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
52	C₂×#97	—	2	8	no	—
53	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	#341	—	2	16	no	—
57	#341	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
58	#336	—	2	8	no	—
59	#336	—	2	8	no	—
60	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
62	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
63	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
64	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
67	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
72	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
73	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
74	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
77	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
78	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
79	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
80	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
81	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
82	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
83	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
84	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
90	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
91	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
92	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
93	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
94	C₂×M₁₆	C₄²	1	16	yes	—
95	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
96	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
104	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
109	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	#97	—	2	16	no	—
123	C₄×C₈	—	2	16	no	—
124	C₂⁴	—	4	4	no	—
125	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₂⁴	C₄×Q₈	1	4	yes	—
127	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
128	C₂⁴	#125	1	4	yes	—
129	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
135	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
138	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
139	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
144	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
145	C₂²×C₄	#117	1	16	yes	—
146	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
147	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
149	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
150	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
154	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	#126	1	16	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
166	M₁₆	—	2	32	no	—
167	M₁₆	—	2	32	no	—
168	M₁₆	—	2	16	no	—
169	M₁₆	—	2	16	no	—
170	M₁₆	—	4	8	no	—
171	M₁₆	—	4	8	no	—
172	M₁₆	—	4	32	no	—
173	C₂×C₈	—	2	4	no	—
174	C₂×C₈	—	2	4	no	—
175	C₂×C₈	—	2	4	no	—
176	C₂×C₈	—	2	4	no	—
177	C₂×C₈	—	2	16	no	—
178	C₂×C₈	—	2	16	no	—
179	C₂×C₈	—	2	16	no	—
180	C₂×C₈	—	4	8	no	—
181	C₂×C₈	—	4	8	no	—
182	C₂×C₈	—	4	32	no	—
183	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	8	yes	—
184	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
185	C₄²	—	2	2	no	—
186	C₄²	—	2	2	no	—
187	C₄²	—	2	2	no	—
188	C₄²	—	2	2	no	—
189	C₄²	—	2	4	no	—
190	C₄²	—	2	4	no	—
191	C₄²	—	2	16	no	—
192	C₂³	—	2	8	no	—
193	C₂³	—	2	4	no	—
194	C₂³	—	4	8	no	—
195	C₂³	—	4	8	no	—
196	C₂³	—	4	8	no	—
197	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂³	#380	1	4	yes	—
199	C₂³	#382	1	4	yes	—
200	C₂³	#387	1	16	yes	—
201	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
203	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
204	C₂³	C₂×#125	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	—	2	16	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄	—	4	32	no	—
211	C₂×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂×C₄	#376	1	8	yes	—
213	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
214	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	#381	1	8	yes	—
217	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
218	C₂×C₄	#383	1	8	yes	—
219	C₂×C₄	#387	1	16	yes	—
220	C₂×C₄	#388	1	16	yes	—
221	C₂×C₄	#388	1	16	yes	—
222	C₂×C₄	#430	1	8	yes	—
223	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
228	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
231	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
234	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
236	C₈	—	2	8	no	—
237	C₈	—	2	8	no	—
238	C₈	—	4	16	no	—
239	C₂²	—	2	4	no	—
240	C₂²	—	2	8	no	—
241	C₂²	—	2	4	no	—
242	C₂²	—	2	8	no	—
243	C₂²	—	2	4	no	—
244	C₂²	—	2	8	no	—
245	C₂²	—	4	16	no	—
246	C₂²	#1434	1	8	yes	—
247	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
250	C₂²	C₂×#387	1	4	yes	—
251	C₂²	C₂×#430	1	4	yes	—
252	C₄	—	2	8	no	—
253	C₄	—	4	4	no	—
254	C₄	#1434	1	8	yes	—
255	C₄	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
256	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₄	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
258	C₄	C₂×#383	1	1	yes	characteristic
259	C₄	C₂×#388	1	4	yes	—
260	C₂	—	2	8	no	—
261	C₂	—	2	4	no	—
262	C₂	C₂×#1434	1	1	yes	characteristic
263	C₂	C₄×#430	1	2	yes	—
264	C₂	#20667	1	2	yes	—
265	C₂	#20769	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10823	C₂	semidirect
6. #10822	C₂	semidirect
16. #1738	C₄	semidirect
57. #341	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×#1738	2
C₂×#1728	2
#10823	2
#10822	2