Subgroups — #353559

Order 512.

2362 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1728	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1728	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₄×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10798	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10797	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#95	C₄	1	4	yes	—
18	#1728	—	2	8	no	—
19	#1728	—	2	8	no	—
20	#1728	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×#95	C₄	1	4	yes	—
26	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
46	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
67	C₂×#97	—	2	8	no	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
69	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×#95	—	2	16	no	—
72	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#336	—	2	16	no	—
76	#336	—	2	16	no	—
77	#336	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
78	#336	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
79	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
88	C₂³×C₄	C₄²	1	8	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
119	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
120	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
159	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	#97	—	2	16	no	—
165	C₄×C₈	—	2	16	no	—
166	#95	—	2	16	no	—
167	#95	—	2	8	no	—
168	#95	M₁₆	1	16	yes	complemented
169	C₂⁴	—	2	4	no	—
170	C₂⁴	—	2	4	no	—
171	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
172	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
173	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
174	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
175	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
176	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	M₁₆	—	2	32	no	—
235	M₁₆	—	2	32	no	—
236	M₁₆	—	4	32	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	—	2	8	no	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	4	no	—
250	C₂×C₈	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
253	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	16	no	—
261	C₄²	—	4	4	no	—
262	C₄²	—	4	4	no	—
263	C₄²	—	4	4	no	—
264	C₄²	—	4	4	no	—
265	C₄²	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	16	no	—
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	#376	1	4	yes	—
274	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
276	C₂³	#387	1	8	yes	—
277	C₂³	#388	1	8	yes	—
278	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
284	C₂³	#568	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	16	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	16	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	32	no	—
295	C₂×C₄	—	4	64	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	#381	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	#382	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	#383	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	#387	1	16	yes	—
310	C₂×C₄	#388	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	#388	1	16	yes	—
312	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
331	C₈	—	2	8	no	—
332	C₈	—	2	8	no	—
333	C₈	—	4	8	no	—
334	C₂²	—	2	16	no	—
335	C₂²	—	2	16	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	2	8	no	—
340	C₂²	#1434	1	8	yes	—
341	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#387	1	2	yes	—
345	C₂²	C₂×#388	1	2	yes	—
346	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	2	yes	—
347	C₂²	#2873	1	2	yes	—
348	C₂²	#2920	1	4	yes	—
349	C₂²	#2921	1	4	yes	—
350	C₂²	D₄×M₁₆	1	8	yes	—
351	C₂²	D₄×M₁₆	1	4	yes	—
352	C₂²	Q₈×M₁₆	1	4	yes	—
353	C₄	—	2	8	no	—
354	C₄	—	4	16	no	—
355	C₄	—	4	4	no	—
356	C₄	#1434	1	8	yes	—
357	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
358	C₄	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₂×#383	1	1	yes	characteristic
361	C₄	C₂×#387	1	2	yes	—
362	C₄	C₂×#388	1	2	yes	—
363	C₂	—	2	8	no	—
364	C₂	C₂×#1434	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#20364	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#20365	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂²⋊C₄×M₁₆	1	2	yes	—
368	C₂	C₄⋊C₄×M₁₆	1	2	yes	—
369	C₂	#21023	1	4	yes	—
370	C₂	#21049	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #10798	C₂	semidirect
7. #10797	C₂	semidirect
14. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
20. #1728	C₄	semidirect
68. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
70. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
77. #336	C₂×C₄	semidirect
78. #336	C₂×C₄	semidirect
168. #95	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×#1728	2
C₂×C₄×#95	2
#10798	2
#10797	2