Subgroups — #35357

Order 256.

1379 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 349 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2534	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2484	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2482	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2477	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2465	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2463	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#2449	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2406	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2404	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
13	#2322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₄×#120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
25	#520	—	2	8	no	—
26	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#400	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#399	C₂²	1	2	yes	—
41	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#397	C₂²	1	2	yes	—
43	#396	C₂²	1	4	yes	—
44	#395	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#394	C₂²	1	4	yes	—
47	#394	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#393	C₂²	1	2	yes	—
49	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#392	C₂²	1	2	yes	—
51	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#388	C₂²	1	4	yes	—
54	#388	C₂²	1	4	yes	—
55	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#386	C₂²	1	2	yes	—
61	#386	C₂²	1	4	yes	—
62	#386	C₂²	1	2	yes	—
63	#386	C₂²	1	4	yes	—
64	#386	C₂²	1	4	yes	—
65	#385	C₂²	1	2	yes	—
66	#385	C₂²	1	2	yes	—
67	#385	C₂²	1	4	yes	—
68	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	#381	C₂²	1	2	yes	—
73	#380	C₂²	1	2	yes	—
74	#379	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
77	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#41	—	2	8	no	—
79	C₂×#41	—	2	4	no	—
80	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
81	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
82	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	#123	—	2	8	no	—
100	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
101	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
102	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
103	#120	—	2	8	no	—
104	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
105	C₄×D₄	—	2	8	no	—
106	C₄×D₄	—	2	8	no	—
107	C₄×D₄	—	2	8	no	—
108	C₄×D₄	—	4	8	no	—
109	#117	—	2	4	no	—
110	#117	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	complemented
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
148	#95	C₂³	1	4	yes	—
149	#95	C₂³	1	4	yes	—
150	#95	C₂³	1	4	yes	—
151	#95	C₂³	1	4	yes	—
152	#95	C₂³	1	2	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	2	yes	—
155	#95	C₂³	1	2	yes	—
156	#95	C₂³	1	2	yes	—
157	#95	C₂³	1	4	yes	—
158	#95	C₂³	1	4	yes	—
159	#95	C₂³	1	4	yes	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	2	4	no	—
163	C₂⁴	—	4	2	no	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	#41	—	2	32	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	8	no	—
178	C₂×D₄	—	2	8	no	—
179	C₂×D₄	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
202	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
229	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	4	4	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	8	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	4	16	no	—
260	C₂³	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
265	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
267	Q₈	—	2	8	no	—
268	Q₈	—	4	16	no	—
269	D₄	—	2	8	no	—
270	D₄	—	2	16	no	—
271	D₄	—	4	16	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	16	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	16	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	4	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	8	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	8	no	—
316	C₂²	—	2	8	no	—
317	C₂²	—	4	16	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	#525	1	4	yes	—
325	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
327	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	4	2	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₂	—	2	4	no	—
342	C₂	—	4	4	no	—
343	C₂	—	4	4	no	—
344	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#3520	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2404	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. #2534	C₂	semidirect
4. #2484	C₂	semidirect
5. #2482	C₂	semidirect
6. #2477	C₂	semidirect
7. #2465	C₂	semidirect
8. #2463	C₂	semidirect
9. #2449	C₂	semidirect
10. #2409	C₂	semidirect
11. #2406	C₂	semidirect
13. #2322	C₂	semidirect
14. #2313	C₂	semidirect
15. C₄×#120	C₂	semidirect
23. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
32. C₂×#117	C₂²	semidirect
36. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
39. #400	C₂²	semidirect
41. #398	C₂²	semidirect
44. #395	C₂²	semidirect
45. #395	C₂²	semidirect
47. #394	C₂²	semidirect
49. #393	C₂²	semidirect
51. #391	C₂²	semidirect
52. #389	C₂²	semidirect
55. #388	C₂²	semidirect
56. #387	C₂²	semidirect
57. #387	C₂²	semidirect
58. #387	C₂²	semidirect
59. #387	C₂²	semidirect
68. #385	C₂²	semidirect
69. #385	C₂²	semidirect
114. C₂×C₄⋊C₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#520	2
#2534	2
#2484	2
#2482	2
#2477	2
#2465	2
#2463	2
#2449	2
#2409	2
#2406	2
#2404	2
#2322	2
#2313	2
C₄×#120	2