Subgroups — #353587

Order 512.

1464 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 307 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#410	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20366	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10803	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10764	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₄×#344	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×#131	—	2	4	no	—
13	C₄×#131	—	2	4	no	—
14	C₂×#405	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	complemented
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×#101	C₄	1	4	yes	complemented
23	C₄×#100	C₄	1	4	yes	complemented
24	C₄×#99	C₄	1	8	yes	—
25	#1746	—	2	4	no	—
26	#1744	—	2	4	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	8	yes	—
28	#1742	C₂²	1	2	yes	—
29	#1740	C₂²	1	2	yes	—
30	#1729	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#131	—	2	8	no	—
33	C₂×#131	—	2	8	no	—
34	C₂×#131	—	2	8	no	—
35	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₄×#41	—	2	2	no	—
41	C₄×#41	—	2	2	no	—
42	C₄×#41	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#413	—	2	8	no	—
52	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	#410	—	2	8	no	—
55	C₂×#99	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	#405	—	2	8	no	—
57	#405	—	2	16	no	—
58	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
59	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
60	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
61	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
62	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×#97	—	2	2	no	—
65	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	#376	—	2	2	no	—
80	C₄³	—	2	2	no	—
81	#344	—	2	16	no	—
82	#343	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	#342	C₂×C₄	1	8	yes	—
84	#336	—	2	16	no	—
85	C₂×#41	—	2	2	no	—
86	C₂×#41	—	2	2	no	—
87	C₂×#41	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
89	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	#131	—	2	64	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
105	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
106	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
107	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
117	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
118	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₄×D₄	—	2	8	no	—
120	C₄×D₄	—	2	8	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	#117	—	2	2	no	—
124	#117	—	2	2	no	—
125	#117	—	2	4	no	—
126	#117	—	2	4	no	—
127	#117	—	2	8	no	—
128	#117	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
148	#101	—	2	8	no	—
149	#100	—	2	8	no	—
150	#99	—	2	16	no	—
151	#97	—	2	8	no	—
152	#97	—	2	4	no	—
153	#97	—	2	8	no	—
154	C₄×C₈	—	2	8	no	—
155	C₄×C₈	—	2	2	no	—
156	C₄×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	—	2	8	no	—
158	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
161	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	#95	—	2	8	no	—
164	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
166	#41	—	2	16	no	—
167	#41	—	2	16	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	#117	1	4	yes	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	2	no	—
174	C₂×D₄	—	2	2	no	—
175	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
176	C₂×D₄	#117	1	8	yes	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
190	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
198	M₁₆	—	2	32	no	—
199	M₁₆	—	2	16	no	—
200	M₁₆	—	2	8	no	—
201	M₁₆	—	2	8	no	—
202	M₁₆	—	4	8	no	—
203	C₂×C₈	—	2	32	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	4	no	—
210	C₂×C₈	—	2	16	no	—
211	C₂×C₈	—	2	8	no	—
212	C₂×C₈	—	4	8	no	—
213	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
216	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄²	—	2	2	no	—
224	C₄²	—	2	2	no	—
225	C₄²	—	2	4	no	—
226	C₄²	—	2	4	no	—
227	C₄²	—	4	16	no	—
228	C₄²	—	4	8	no	—
229	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₄²	#117	1	2	yes	—
233	C₄²	#117	1	2	yes	—
234	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
235	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	2	no	—
238	C₂³	—	4	2	no	—
239	C₂³	—	4	4	no	—
240	C₂³	#376	1	4	yes	—
241	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
244	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
245	Q₈	—	2	8	no	—
246	D₄	—	2	16	no	—
247	D₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	16	no	—
261	C₂×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
274	C₂×C₄	#529	1	8	yes	—
275	C₈	—	2	4	no	—
276	C₈	—	2	4	no	—
277	C₈	—	2	8	no	—
278	C₈	—	4	8	no	—
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	—	2	2	no	—
281	C₂²	—	2	4	no	—
282	C₂²	—	4	2	no	—
283	C₂²	—	4	2	no	—
284	C₂²	—	4	4	no	—
285	C₂²	—	4	4	no	—
286	C₂²	—	4	4	no	—
287	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	#2290	1	4	yes	—
291	C₄	—	2	2	no	—
292	C₄	—	2	4	no	—
293	C₄	—	2	4	no	—
294	C₄	—	4	4	no	—
295	C₄	—	8	8	no	—
296	C₄	#1757	1	4	yes	—
297	C₄	#2280	1	2	yes	—
298	C₄	#2283	1	2	yes	—
299	C₄	#2290	1	4	yes	—
300	C₂	—	2	4	no	—
301	C₂	—	2	1	no	—
302	C₂	—	2	1	no	—
303	C₂	—	4	4	no	—
304	C₂	#13753	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₂×#1757	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20366	C₂	semidirect
5. #10803	C₂	semidirect
7. C₄×#344	C₂	semidirect
14. C₂×#405	C₄	semidirect
16. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
19. C₂²×C₄×C₈	C₄	semidirect
22. C₄×#101	C₄	semidirect
23. C₄×#100	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#131	2
C₄×#413	2
C₄×#410	2
#20366	2
#10803	2
#10764	2
C₄×#344	2