Subgroups — #353591

Order 512.

1750 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 318 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#103	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13755	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10807	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10789	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₄×#340	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄²×Q₈	—	2	4	no	—
13	C₄²×Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
16	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#376	—	2	1	no	—
20	C₂×C₄³	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×#103	C₄	1	16	yes	complemented
23	#1744	—	2	4	no	—
24	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
28	#1434	—	2	2	no	—
29	C₄×#95	—	2	1	no	—
30	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
33	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
34	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
47	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#103	—	2	16	no	—
56	C₂×#103	C₂×C₄	1	16	yes	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
61	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
62	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
65	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	#376	—	4	4	no	—
69	C₂×#95	—	2	2	no	—
70	C₂×#95	—	2	2	no	—
71	C₂×#95	—	2	1	no	—
72	C₂×#95	—	2	4	no	—
73	C₂×#95	—	2	4	no	—
74	C₄³	—	2	8	no	—
75	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₄³	D₄	1	4	yes	—
77	#340	—	2	16	no	—
78	#340	C₂×C₄	1	16	yes	—
79	#336	—	2	8	no	—
80	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
81	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
83	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
86	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
99	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
100	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
101	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
102	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
103	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
104	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
105	C₄×Q₈	C₄²	1	16	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	—
122	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	SD₁₆	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	Q₁₆	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
148	#103	—	2	32	no	—
149	C₄×C₈	—	2	16	no	—
150	#95	—	2	8	no	—
151	#95	—	2	4	no	—
152	#95	—	2	8	no	—
153	#95	—	4	8	no	—
154	#95	—	4	8	no	—
155	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
159	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
160	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
161	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
162	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
163	C₂×Q₈	#117	1	16	yes	—
164	C₂×Q₈	#117	1	8	yes	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
203	C₂×C₈	—	2	8	no	—
204	C₂×C₈	—	2	8	no	—
205	C₂×C₈	—	2	8	no	—
206	C₂×C₈	—	4	8	no	—
207	C₂×C₈	—	4	8	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
217	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
218	C₄⋊C₄	#117	1	8	yes	—
219	C₄²	—	2	32	no	—
220	C₄²	—	2	4	no	—
221	C₄²	—	2	4	no	—
222	C₄²	—	2	8	no	—
223	C₄²	—	2	16	no	—
224	C₄²	—	2	8	no	—
225	C₄²	—	4	8	no	—
226	C₄²	—	4	16	no	—
227	C₄²	—	4	8	no	—
228	C₄²	—	4	16	no	—
229	C₄²	#103	1	16	yes	complemented
230	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
231	C₄²	#117	1	4	yes	—
232	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
233	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂³	#525	1	4	yes	—
236	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
237	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
238	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
239	C₂³	#575	1	4	yes	—
240	Q₈	—	2	4	no	—
241	Q₈	—	2	8	no	—
242	Q₈	—	2	16	no	—
243	Q₈	#376	1	8	yes	complemented
244	C₂×C₄	—	2	8	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	16	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂×C₄	—	4	8	no	—
265	C₂×C₄	—	4	8	no	—
266	C₂×C₄	—	4	8	no	—
267	C₂×C₄	—	8	8	no	—
268	C₂×C₄	—	8	8	no	—
269	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×#103	1	8	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×#103	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	#416	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	C₄×SD₁₆	1	8	yes	—
275	C₂×C₄	C₄×Q₁₆	1	8	yes	—
276	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	#529	1	8	yes	—
285	C₈	—	4	8	no	—
286	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#2280	1	2	yes	—
288	C₂²	#2290	1	4	yes	—
289	C₂²	C₂²×#103	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	C₂×#416	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	#2896	1	2	yes	—
292	C₂²	C₂×C₄×SD₁₆	1	2	yes	—
293	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	2	yes	—
294	C₂²	#2943	1	4	yes	—
295	C₂²	#3102	1	8	yes	—
296	C₂²	#3103	1	4	yes	—
297	C₂²	#3104	1	4	yes	—
298	C₄	—	2	8	no	—
299	C₄	—	2	4	no	—
300	C₄	—	2	8	no	—
301	C₄	—	4	4	no	—
302	C₄	—	4	8	no	—
303	C₄	—	4	4	no	—
304	C₄	—	8	8	no	—
305	C₄	C₄×#103	1	8	yes	—
306	C₄	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
307	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
308	C₄	#2283	1	2	yes	—
309	C₄	#2290	1	4	yes	—
310	C₂	#13753	1	1	yes	characteristic
311	C₂	C₂×C₄×#103	1	1	yes	characteristic
312	C₂	#20411	1	1	yes	characteristic
313	C₂	#20734	1	2	yes	—
314	C₂	#20736	1	2	yes	—
315	C₂	#21115	1	4	yes	—
316	C₂	#21119	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₄²×Q₈	C₄	semidirect
22. C₄×#103	C₄	semidirect
229. C₄²	#103	semidirect
243. Q₈	#376	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄²×Q₈	2
C₂×C₄×#103	2
C₂×#1744	2
#13755	2
#10807	2
#10789	2
C₄×#340	2