Subgroups — #353604

Order 512.

1502 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20385	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1747	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#10800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10799	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²⋊#338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10717	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10716	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10699	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#405	—	2	8	no	—
15	C₂×#405	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×#405	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#97	C₄	1	2	yes	complemented
23	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	complemented
24	#2280	C₂²	1	2	yes	—
25	#1752	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
27	#1747	—	2	8	no	—
28	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
34	#1729	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#117	—	2	1	no	—
55	C₂×#117	—	2	1	no	—
56	C₂×#117	—	2	4	no	—
57	C₂×#117	—	2	4	no	—
58	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#407	—	2	2	no	—
66	#407	—	2	2	no	—
67	#407	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	#405	—	2	4	no	—
70	#405	—	2	4	no	—
71	#405	—	2	8	no	—
72	#405	—	2	8	no	—
73	#405	—	2	4	no	—
74	#405	—	2	8	no	—
75	#405	—	2	8	no	—
76	#405	D₄	1	8	yes	—
77	C₂×#97	—	2	8	no	—
78	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
83	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
89	#381	—	2	2	no	—
90	#380	—	2	4	no	—
91	#379	—	2	2	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
93	#338	—	2	4	no	—
94	#338	—	2	4	no	—
95	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
96	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
97	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
98	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
99	#336	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
100	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
145	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₄²	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₄²	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
163	#117	—	2	8	no	—
164	#117	—	2	8	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	4	no	—
168	#117	—	2	4	no	—
169	#117	—	2	4	no	—
170	#117	—	2	4	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	#117	#41	1	4	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
194	#97	—	2	4	no	—
195	#97	—	2	4	no	—
196	#97	—	2	16	no	—
197	#97	—	2	4	no	—
198	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
199	C₄×C₈	—	2	4	no	—
200	C₄×C₈	—	2	4	no	—
201	C₄×C₈	—	2	16	no	—
202	C₄×C₈	—	2	4	no	—
203	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	complemented
204	#95	—	2	8	no	—
205	C₂⁴	—	2	2	no	—
206	C₂⁴	—	2	2	no	—
207	C₂⁴	—	4	4	no	—
208	C₂⁴	#117	1	1	yes	characteristic
209	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
210	C₂⁴	#117	1	1	yes	characteristic
211	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	#117	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
252	M₁₆	—	2	16	no	—
253	M₁₆	—	2	8	no	—
254	M₁₆	—	2	8	no	—
255	M₁₆	—	4	4	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	16	no	—
260	C₂×C₈	—	2	1	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	1	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	1	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₂×C₈	—	2	8	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	2	8	no	—
278	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
287	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
290	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄²	—	2	8	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	8	no	—
306	C₄²	—	2	8	no	—
307	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
308	C₄²	#117	1	4	yes	—
309	C₂³	—	2	4	no	—
310	C₂³	—	2	1	no	—
311	C₂³	—	2	1	no	—
312	C₂³	—	2	8	no	—
313	C₂³	—	2	1	no	—
314	C₂³	—	2	1	no	—
315	C₂³	—	2	8	no	—
316	C₂³	—	4	4	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	—	4	8	no	—
320	C₂³	—	4	8	no	—
321	C₂³	#376	1	2	yes	—
322	C₂³	#376	1	2	yes	—
323	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
325	C₂³	#525	1	2	yes	—
326	C₂³	#529	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	8	no	—
341	C₂×C₄	—	2	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	16	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	16	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
359	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
364	C₈	—	2	2	no	—
365	C₈	—	2	2	no	—
366	C₈	—	2	4	no	—
367	C₈	—	2	4	no	—
368	C₈	—	4	8	no	—
369	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
370	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
371	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	16	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	4	2	no	—
385	C₂²	#1747	1	4	yes	complemented
386	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#2283	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#2290	1	4	yes	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	4	4	no	—
393	C₄	—	4	4	no	—
394	C₄	—	8	8	no	—
395	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
396	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
397	C₄	#2280	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#2283	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#2290	1	4	yes	—
400	C₂	—	2	1	no	—
401	C₂	—	2	4	no	—
402	C₂	—	2	4	no	—
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	4	2	no	—
405	C₂	#13753	1	1	yes	characteristic
406	C₂	C₂×#1747	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂×C₄²
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#376
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1747	C₂	semidirect
4. #10800	C₂	semidirect
5. #10799	C₂	semidirect
9. #10699	C₂	semidirect
15. C₂×#405	C₄	semidirect
16. C₂×#405	C₄	semidirect
22. C₂²×#97	C₄	semidirect
23. C₂²×C₄×C₈	C₄	semidirect
25. #1752	C₄	semidirect
26. C₈×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
82. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
88. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
99. #336	C₂×C₄	semidirect
198. #97	C₂²⋊C₄	semidirect
203. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect
385. C₂²	#1747	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#405	2
#20385	2
C₂×#1747	2
#10800	2
#10799	2
C₂²⋊#338	2
#10717	2
#10716	2
#10699	2