Subgroups — #353613

Order 512.

2474 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#424	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1729	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10833	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10832	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#424	—	2	8	no	—
14	C₂×#424	—	2	8	no	—
15	C₂×#424	C₄	1	16	yes	complemented
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
17	C₄×#117	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
19	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
20	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
22	#1729	—	2	8	no	—
23	#1728	—	2	4	no	—
24	C₂×#336	—	2	4	no	—
25	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
41	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
42	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
43	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×#117	—	2	4	no	—
49	C₂×#117	—	2	4	no	—
50	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
52	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
54	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
55	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
70	#424	—	2	64	no	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
76	#376	—	2	8	no	—
77	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	C₄³	—	2	8	no	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	#336	—	2	4	no	—
82	#336	—	2	4	no	—
83	#336	—	2	16	no	—
84	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
134	#117	—	2	16	no	—
135	#117	—	2	16	no	—
136	#117	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
137	#117	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
162	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
163	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
174	C₄⋊C₈	—	2	64	no	—
175	#95	—	2	16	no	—
176	C₂⁴	—	2	4	no	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
179	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
184	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
185	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
224	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
244	M₁₆	—	4	32	no	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	2	8	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	4	4	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	32	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
261	C₄⋊C₄	#95	1	32	yes	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
263	C₂²⋊C₄	#95	1	32	yes	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	8	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	8	no	—
270	C₄²	—	2	16	no	—
271	C₄²	—	4	32	no	—
272	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
273	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	8	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	8	no	—
280	C₂³	—	2	8	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
285	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
286	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
287	C₂³	#380	1	4	yes	—
288	C₂³	#380	1	4	yes	—
289	C₂³	#382	1	4	yes	—
290	C₂³	#384	1	4	yes	—
291	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
299	C₂³	#568	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	16	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	16	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	16	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	32	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	C₂×#95	1	16	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#389	1	16	yes	—
328	C₂×C₄	#389	1	16	yes	—
329	C₂×C₄	#390	1	16	yes	—
330	C₂×C₄	#391	1	16	yes	—
331	C₂×C₄	#424	1	8	yes	complemented
332	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
348	C₈	—	4	8	no	—
349	C₈	—	4	8	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	2	8	no	—
352	C₂²	—	2	8	no	—
353	C₂²	—	2	8	no	—
354	C₂²	—	2	8	no	—
355	C₂²	—	2	4	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	8	no	—
358	C₂²	C₄⋊#95	1	8	yes	—
359	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₄×#131	1	2	yes	—
367	C₂²	#2875	1	2	yes	—
368	C₂²	#2880	1	4	yes	—
369	C₂²	C₂×#424	1	2	yes	—
370	C₂²	#2905	1	2	yes	—
371	C₂²	#2906	1	4	yes	—
372	C₂²	#2906	1	4	yes	—
373	C₂²	#2922	1	2	yes	—
374	C₂²	#2923	1	2	yes	—
375	C₂²	#2924	1	4	yes	—
376	C₄	—	2	16	no	—
377	C₄	—	2	8	no	—
378	C₄	—	4	4	no	—
379	C₄	—	4	8	no	—
380	C₄	C₄⋊#95	1	8	yes	—
381	C₄	C₂×#389	1	2	yes	—
382	C₄	C₂×#389	1	2	yes	—
383	C₄	C₂×#390	1	2	yes	—
384	C₄	C₂×#391	1	2	yes	—
385	C₂	—	2	8	no	—
386	C₂	C₂×C₄⋊#95	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#20336	1	2	yes	—
388	C₂	C₄×#424	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#20427	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#20430	1	2	yes	—
391	C₂	#20628	1	2	yes	—
392	C₂	#20630	1	2	yes	—
393	C₂	#20754	1	2	yes	—
394	C₂	#20793	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #10833	C₂	semidirect
7. #10832	C₂	semidirect
15. C₂×#424	C₄	semidirect
73. C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	semidirect
331. C₂×C₄	#424	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#424	2
C₂×C₄×#117	2
C₂×#1729	2
C₂×#1728	2
C₂²×#336	2
#10833	2
#10832	2