Subgroups — #353701

Order 512.

2222 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2873	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2317	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1742	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂²×#343	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10858	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10857	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2905	—	2	4	no	—
14	#2905	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#424	—	2	4	no	—
16	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
17	#2873	—	2	4	no	—
18	#2873	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#405	—	2	4	no	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
21	#2317	—	2	4	no	—
22	#2317	—	2	4	no	—
23	C₂×#389	C₄	1	4	yes	—
24	C₂×#385	C₄	1	4	yes	—
25	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
27	#1742	—	2	8	no	—
28	C₂×#343	—	2	8	no	—
29	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
31	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
47	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	—	2	4	no	—
55	C₂×#117	—	2	4	no	—
56	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
60	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
76	#424	—	2	32	no	—
77	#423	—	2	8	no	—
78	#423	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
80	#405	—	2	32	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
82	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
83	C₂×#97	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
85	#389	—	2	16	no	—
86	#385	—	2	16	no	—
87	#384	—	2	4	no	—
88	#384	—	2	4	no	—
89	#382	—	2	4	no	—
90	#382	—	2	4	no	—
91	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
92	#343	—	2	16	no	—
93	#343	—	2	8	no	—
94	#343	—	2	8	no	—
95	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
98	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
137	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
141	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
149	#117	—	4	4	no	—
150	#117	—	4	4	no	—
151	#117	—	4	4	no	—
152	#117	—	4	4	no	—
153	#117	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
154	#117	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
155	#117	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
156	#117	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
185	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
193	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
194	#97	—	2	16	no	—
195	C₄×C₈	—	2	16	no	—
196	#95	—	2	16	no	—
197	C₂⁴	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	—	4	2	no	—
199	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
200	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
203	C₂⁴	C₄×Q₈	1	4	yes	—
204	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
244	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
246	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
257	M₁₆	—	2	8	no	—
258	M₁₆	—	2	8	no	—
259	M₁₆	—	2	8	no	—
260	M₁₆	—	2	32	no	—
261	M₁₆	—	2	8	no	—
262	M₁₆	—	2	8	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	M₁₆	—	4	4	no	—
265	M₁₆	—	4	16	no	—
266	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
267	C₂×C₈	—	2	8	no	—
268	C₂×C₈	—	2	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	8	no	—
270	C₂×C₈	—	2	32	no	—
271	C₂×C₈	—	2	8	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	16	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
286	C₄⋊C₄	#95	1	32	yes	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	#95	1	32	yes	—
289	C₄²	—	4	8	no	—
290	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
291	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
292	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
293	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	2	no	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	4	4	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	4	4	no	—
302	C₂³	—	4	8	no	—
303	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
304	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
305	C₂³	#389	1	8	yes	—
306	C₂³	#390	1	4	yes	—
307	C₂³	#391	1	4	yes	—
308	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	16	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	C₂×#95	1	16	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
331	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
332	C₂×C₄	#382	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	#384	1	8	yes	—
334	C₂×C₄	#389	1	8	yes	—
335	C₂×C₄	#389	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	#389	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#390	1	8	yes	—
339	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#391	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
359	C₈	—	2	16	no	—
360	C₈	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	2	8	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	8	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	2	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	4	8	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	C₄⋊#95	1	8	yes	—
373	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
375	C₂²	C₂×#389	1	2	yes	—
376	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2888	1	2	yes	—
379	C₂²	#2889	1	2	yes	—
380	C₄	—	2	16	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	8	4	no	—
383	C₄	—	8	2	no	—
384	C₄	C₄⋊#95	1	8	yes	—
385	C₄	C₂×#380	1	2	yes	—
386	C₄	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
387	C₄	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
388	C₄	C₂×#389	1	2	yes	—
389	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
390	C₄	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
391	C₂	—	2	8	no	—
392	C₂	—	2	2	no	—
393	C₂	—	2	2	no	—
394	C₂	C₂×C₄⋊#95	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#20358	1	2	yes	—
396	C₂	#21219	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#21220	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#21338	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #10858	C₂	semidirect
7. #10857	C₂	semidirect
14. #2905	C₄	semidirect
18. #2873	C₄	semidirect
78. #423	C₂×C₄	semidirect
82. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
136. C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2905	2
C₂×#2873	2
C₂×#2317	2
C₂×#1742	2
C₂²×#343	2
#10858	2
#10857	2