Subgroups — #353754

Order 512.

1004 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20437	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1747	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₄×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₄⋊#338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10836	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10800	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10799	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10699	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2285	C₂²	1	2	yes	—
19	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1770	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₈×C₄⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
22	#1747	—	2	8	no	—
23	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
29	#1729	C₂²	1	4	yes	—
30	#1726	C₄	1	2	yes	complemented
31	#1726	C₄	1	2	yes	complemented
32	C₄×#97	C₄	1	2	yes	complemented
33	C₄²×C₈	C₄	1	2	yes	complemented
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#423	—	2	4	no	—
44	#423	—	2	2	no	—
45	#423	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	#405	—	2	2	no	—
48	#405	—	2	2	no	—
49	#405	—	2	8	no	—
50	#405	—	2	4	no	—
51	#405	—	2	8	no	—
52	#405	—	2	4	no	—
53	#405	D₄	1	4	yes	—
54	#405	Q₈	1	4	yes	—
55	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
56	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#384	—	2	2	no	—
76	#382	—	2	2	no	—
77	#380	—	2	4	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
81	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#338	—	2	4	no	—
84	#338	—	2	4	no	—
85	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
86	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
87	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
88	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
89	#336	C₂×C₄	1	16	yes	—
90	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
105	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
122	#117	—	2	2	no	—
123	#117	—	2	1	no	—
124	#117	—	2	1	no	—
125	#117	—	2	4	no	—
126	#117	—	2	4	no	—
127	#117	—	2	4	no	—
128	#117	—	2	4	no	—
129	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
131	#117	#41	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
149	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
150	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
151	#97	—	2	4	no	—
152	#97	—	2	4	no	—
153	#97	—	2	16	no	—
154	#97	—	2	4	no	—
155	#97	—	2	4	no	—
156	#97	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
157	C₄×C₈	—	2	4	no	—
158	C₄×C₈	—	2	4	no	—
159	C₄×C₈	—	2	16	no	—
160	C₄×C₈	—	2	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	2	no	—
162	C₄×C₈	—	2	4	no	—
163	C₄×C₈	C₄²	1	2	yes	—
164	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
165	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
166	C₄×C₈	C₄²	1	2	yes	—
167	C₄×C₈	C₄²	1	2	yes	—
168	C₄×C₈	C₄²	1	2	yes	—
169	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
170	#95	—	2	4	no	—
171	#95	—	2	8	no	—
172	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
191	M₁₆	—	2	4	no	—
192	M₁₆	—	2	4	no	—
193	M₁₆	—	2	4	no	—
194	M₁₆	—	2	4	no	—
195	M₁₆	—	4	4	no	—
196	M₁₆	—	4	4	no	—
197	M₁₆	—	4	4	no	—
198	M₁₆	—	4	4	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	2	no	—
203	C₂×C₈	—	2	2	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	1	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	4	no	—
208	C₂×C₈	—	2	4	no	—
209	C₂×C₈	—	2	8	no	—
210	C₂×C₈	—	2	8	no	—
211	C₂×C₈	—	2	8	no	—
212	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
213	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
214	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
221	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
224	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
225	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
226	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	2	no	—
240	C₄²	—	2	8	no	—
241	C₄²	—	2	8	no	—
242	C₄²	—	4	8	no	—
243	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
244	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
245	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₄²	#117	1	4	yes	—
247	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
248	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
249	C₄²	#117	1	2	yes	—
250	C₄²	#117	1	4	yes	—
251	C₄²	#117	1	4	yes	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
254	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
255	C₂³	#529	1	2	yes	—
256	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂×C₄	—	4	16	no	—
267	C₂×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#376	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	#376	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
289	C₈	—	2	2	no	—
290	C₈	—	2	2	no	—
291	C₈	—	2	4	no	—
292	C₈	—	2	4	no	—
293	C₈	—	4	8	no	—
294	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
296	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	4	2	no	—
300	C₂²	—	4	1	no	—
301	C₂²	—	4	1	no	—
302	C₂²	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	#2283	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#2293	1	2	yes	—
306	C₂²	#2295	1	2	yes	—
307	C₄	—	2	2	no	—
308	C₄	—	2	4	no	—
309	C₄	—	4	4	no	—
310	C₄	—	4	4	no	—
311	C₄	—	8	8	no	—
312	C₄	#1747	1	4	yes	complemented
313	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#2283	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#2293	1	2	yes	—
318	C₄	#2295	1	2	yes	—
319	C₂	—	2	1	no	—
320	C₂	—	2	1	no	—
321	C₂	—	2	2	no	—
322	C₂	—	2	2	no	—
323	C₂	#13755	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₂×#1747	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂×C₄²
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#376
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
20. #1770	C₄	semidirect
21. C₈×C₄⋊C₄	C₄	semidirect
30. #1726	C₄	semidirect
31. #1726	C₄	semidirect
32. C₄×#97	C₄	semidirect
33. C₄²×C₈	C₄	semidirect
156. #97	C₄⋊C₄	semidirect
169. C₄×C₈	C₄⋊C₄	semidirect
312. C₄	#1747	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20437	2
C₂×#1747	2
C₄×#405	2
C₄⋊#338	2
#10837	2
#10836	2
#10800	2
#10799	2
#10699	2