Subgroups — #353765

Order 512.

2554 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×C₄×C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10834	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10714	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₄×#336	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×#117	C₄	1	2	yes	—
9	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#431	—	2	4	no	—
11	C₂×#431	—	2	4	no	—
12	C₂×#431	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	—	2	4	no	—
16	C₂²×C₄×C₈	—	2	4	no	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#117	—	2	4	no	—
22	C₄×#117	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#376	C₄	1	2	yes	—
28	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	16	yes	—
30	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
34	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	16	no	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂×#117	—	2	8	no	—
40	C₂×#117	—	2	8	no	—
41	C₂×#117	C₈	1	16	yes	complemented
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#431	—	2	32	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	32	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
80	#376	—	2	8	no	—
81	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₄³	—	2	4	no	—
84	C₄³	—	2	4	no	—
85	#336	—	2	32	no	—
86	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
96	C₂³×C₄	M₁₆	1	8	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
122	C₂²×C₈	#41	1	16	yes	—
123	#117	—	2	64	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	16	yes	—
130	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
137	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
143	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
146	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
162	C₄×C₈	—	2	16	no	—
163	C₄×C₈	—	2	16	no	—
164	C₄×C₈	—	2	16	no	—
165	#95	—	2	8	no	—
166	#95	—	2	8	no	—
167	C₂⁴	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	—	2	4	no	—
169	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
170	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂⁴	C₂²×C₈	1	4	yes	—
173	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
174	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
190	C₂²×C₄	#95	1	16	yes	—
191	C₂²×C₄	#95	1	16	yes	—
192	C₂²×C₄	C₄×C₈	1	16	yes	—
193	C₂²×C₄	#97	1	16	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²⋊C₈	1	32	yes	—
195	C₂²×C₄	C₄⋊C₈	1	32	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
228	C₂×C₈	—	2	64	no	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	2	16	no	—
232	C₂×C₈	—	2	16	no	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	16	no	—
235	C₂×C₈	—	4	8	no	—
236	C₂×C₈	—	4	8	no	—
237	C₂×C₈	#117	1	16	yes	complemented
238	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
240	C₄²	—	2	32	no	—
241	C₄²	—	4	8	no	—
242	C₄²	—	4	8	no	—
243	C₄²	—	4	16	no	—
244	C₄²	#95	1	16	yes	—
245	C₄²	#95	1	16	yes	—
246	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
247	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
248	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
253	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	16	no	—
258	C₂³	—	2	16	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂×#97	1	4	yes	—
265	C₂³	C₂×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
266	C₂³	C₂×C₄⋊C₈	1	8	yes	—
267	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	C₄×#41	1	4	yes	—
271	C₂³	C₂³×C₈	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	32	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	32	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	16	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	#336	1	64	yes	complemented
291	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#97	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#97	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	#405	1	8	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	#408	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄⋊C₈	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	#424	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
317	C₈	—	2	16	no	—
318	C₈	—	4	8	no	—
319	C₂²	—	2	16	no	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	16	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	—	2	8	no	—
324	C₂²	—	2	8	no	—
325	C₂²	C₂×#336	1	8	yes	—
326	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₄×#117	1	2	yes	—
328	C₂²	#2296	1	2	yes	—
329	C₂²	#2297	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂²×#97	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#405	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂²×C₂²⋊C₈	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂×#408	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂²×C₄⋊C₈	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂×#424	1	2	yes	—
337	C₂²	C₈×#41	1	8	yes	—
338	C₂²	#2965	1	8	yes	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	2	4	no	—
341	C₄	—	4	16	no	—
342	C₄	C₂×#336	1	8	yes	—
343	C₄	C₂×#336	1	8	yes	—
344	C₄	#1729	1	8	yes	—
345	C₄	#2280	1	2	yes	—
346	C₄	#2285	1	2	yes	—
347	C₄	#2296	1	2	yes	—
348	C₄	#2297	1	2	yes	—
349	C₂	—	2	8	no	—
350	C₂	#13756	1	1	yes	characteristic
351	C₂	C₂²×#336	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂×#1729	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₈×#117	1	2	yes	—
354	C₂	#20473	1	2	yes	—
355	C₂	#21349	1	4	yes	—
356	C₂	#21373	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄²	C₂³
commutator	C₂²	C₂²×C₄×C₈
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #10834	C₂	semidirect
6. C₄×#336	C₂	semidirect
12. C₂×#431	C₄	semidirect
17. C₂²×C₄×C₈	C₄	semidirect
41. C₂×#117	C₈	semidirect
126. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
147. C₂×C₄²	C₂×C₈	semidirect
237. C₂×C₈	#117	semidirect
290. C₂×C₄	#336	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#431	2
C₂³×C₄×C₈	2
C₂×C₄×#117	2
#10834	2
#10714	2
C₄×#336	2