Subgroups — #353771

Order 512.

2330 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 341 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#117	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10835	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10714	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10693	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×#117	C₄	1	2	yes	—
9	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#432	—	2	4	no	—
11	C₂×#432	—	2	4	no	—
12	C₂×#432	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#97	—	2	4	no	—
16	C₂²×#97	—	2	4	no	—
17	C₂²×#97	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×#117	—	2	4	no	—
22	C₄×#117	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#376	C₄	1	2	yes	—
28	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	16	yes	—
30	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
34	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	16	no	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂×#117	—	2	8	no	—
40	C₂×#117	—	2	16	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#432	—	2	32	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×#97	—	2	32	no	—
64	C₂×#97	—	2	4	no	—
65	C₂×#97	—	2	4	no	—
66	C₂×#97	—	2	4	no	—
67	C₂×#97	—	2	4	no	—
68	C₂×#97	—	2	4	no	—
69	C₂×#97	—	2	4	no	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	C₂×#97	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
79	#376	—	2	8	no	—
80	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₄³	—	2	4	no	—
83	C₄³	—	2	4	no	—
84	#336	—	2	32	no	—
85	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
120	C₂²×C₈	#41	1	16	yes	—
121	#117	—	2	64	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	M₁₆	1	16	yes	—
127	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₄²	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
140	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
143	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
156	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
157	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
158	#97	—	2	16	no	—
159	#97	—	2	16	no	—
160	#97	—	2	16	no	—
161	#95	—	2	8	no	—
162	#95	—	2	8	no	—
163	C₂⁴	—	2	4	no	—
164	C₂⁴	—	2	4	no	—
165	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
168	C₂⁴	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
169	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²×C₄	#95	1	16	yes	—
192	C₂²×C₄	#95	1	16	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
220	C₂×C₈	—	2	64	no	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	16	no	—
224	C₂×C₈	—	2	16	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	16	no	—
227	C₂×C₈	—	4	8	no	—
228	C₂×C₈	—	4	8	no	—
229	C₂×C₈	#117	1	16	yes	complemented
230	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
232	C₄²	—	2	32	no	—
233	C₄²	—	4	16	no	—
234	C₄²	—	4	8	no	—
235	C₄²	—	4	8	no	—
236	C₄²	#95	1	16	yes	—
237	C₄²	#95	1	16	yes	—
238	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
239	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
240	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
241	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
242	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
243	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
244	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	32	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	C₂×#95	1	4	yes	—
254	C₂³	C₄×M₁₆	1	8	yes	—
255	C₂³	#407	1	8	yes	—
256	C₂³	#423	1	8	yes	—
257	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₄×#41	1	4	yes	—
261	C₂³	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
262	C₂³	#568	1	4	yes	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	4	no	—
265	C₂×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	32	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	16	no	—
284	C₂×C₄	—	2	32	no	—
285	C₂×C₄	—	4	16	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	16	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#117	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
304	C₈	—	2	16	no	—
305	C₈	—	4	8	no	—
306	C₂²	—	2	16	no	—
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	2	16	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	16	no	—
311	C₂²	#1728	1	8	yes	—
312	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₄×#117	1	2	yes	—
314	C₂²	#2296	1	2	yes	—
315	C₂²	#2297	1	2	yes	—
316	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	2	yes	—
317	C₂²	#2873	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂×#407	1	2	yes	—
319	C₂²	#2879	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂×#423	1	2	yes	—
321	C₂²	#2905	1	2	yes	—
322	C₂²	#2970	1	16	yes	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	2	4	no	—
325	C₄	—	2	4	no	—
326	C₄	—	2	4	no	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	4	16	no	—
329	C₄	#2280	1	2	yes	—
330	C₄	#2285	1	2	yes	—
331	C₄	#2296	1	2	yes	—
332	C₄	#2297	1	2	yes	—
333	C₂	—	2	8	no	—
334	C₂	#13756	1	1	yes	characteristic
335	C₂	C₂×#1728	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#20335	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#20479	1	4	yes	—
338	C₂	#21355	1	4	yes	—
339	C₂	#21379	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #10835	C₂	semidirect
6. #10693	C₂	semidirect
12. C₂×#432	C₄	semidirect
17. C₂²×#97	C₄	semidirect
229. C₂×C₈	#117	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#432	2
C₂³×#97	2
C₂×C₄×#117	2
#10835	2
#10714	2
#10693	2