Subgroups — #353908

Order 512.

2222 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33996	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20347	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂²×#339	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10892	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10891	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2285	—	2	4	no	—
14	#2285	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#380	—	2	2	no	—
18	#2274	—	2	4	no	—
19	#2274	C₂²	1	4	yes	—
20	#2273	—	2	2	no	—
21	C₄×#117	—	2	2	no	—
22	C₄×#117	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
24	#1742	—	2	4	no	—
25	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
26	#1736	—	2	4	no	—
27	#1736	C₂²	1	8	yes	—
28	#1735	—	2	4	no	—
29	C₂×#339	C₄	1	16	yes	complemented
30	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
33	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
43	C₂×#117	—	2	2	no	—
44	C₂×#117	—	2	2	no	—
45	C₂×#117	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	—	2	2	no	—
47	C₂×#117	—	2	4	no	—
48	C₂×#117	—	2	4	no	—
49	C₂×#117	—	2	4	no	—
50	C₂×#117	—	2	2	no	—
51	C₂×#117	—	2	2	no	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	—	2	4	no	—
54	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
58	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
59	C₂×#117	Q₈	1	8	yes	—
60	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
69	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#384	—	2	4	no	—
79	#384	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
80	#382	—	2	4	no	—
81	#382	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
82	#380	—	2	16	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
87	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
88	#376	—	2	4	no	—
89	C₂×#95	—	2	4	no	—
90	C₄³	—	2	4	no	—
91	#343	—	2	8	no	—
92	#340	—	2	16	no	—
93	#339	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
94	#339	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
95	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
127	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
128	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
132	#117	—	2	8	no	—
133	#117	—	2	8	no	—
134	#117	—	2	8	no	—
135	#117	—	2	8	no	—
136	#117	—	2	8	no	—
137	#117	—	2	8	no	—
138	#117	—	2	8	no	—
139	#117	—	2	8	no	—
140	#117	—	2	8	no	—
141	#117	—	2	4	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	#117	—	2	8	no	—
144	#117	—	2	8	no	—
145	#117	—	4	4	no	—
146	#117	—	4	4	no	—
147	#117	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
148	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
149	#117	C₂×Q₈	1	8	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
191	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
192	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
194	C₂×C₄²	C₄²	1	16	yes	complemented
195	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
200	#95	—	2	16	no	—
201	#95	—	2	16	no	—
202	C₂⁴	—	4	4	no	—
203	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
205	C₂⁴	#120	1	2	yes	—
206	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
207	C₂⁴	#123	1	2	yes	—
208	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
236	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
255	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
256	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
265	M₁₆	—	2	8	no	—
266	M₁₆	—	2	8	no	—
267	M₁₆	—	4	4	no	—
268	M₁₆	—	4	4	no	—
269	M₁₆	—	4	16	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	16	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	8	no	—
292	C₄²	—	2	8	no	—
293	C₄²	—	2	16	no	—
294	C₄²	—	2	16	no	—
295	C₄²	—	2	8	no	—
296	C₄²	—	2	8	no	—
297	C₄²	—	4	4	no	—
298	C₄²	—	4	4	no	—
299	C₄²	—	8	16	no	—
300	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
301	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	2	8	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	4	8	no	—
306	C₂³	—	4	8	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
309	C₂³	#385	1	4	yes	—
310	C₂³	#385	1	4	yes	—
311	C₂³	#386	1	4	yes	—
312	C₂³	#387	1	8	yes	—
313	C₂³	#391	1	4	yes	—
314	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	16	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	16	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	32	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	16	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	16	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	—	8	4	no	—
337	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
339	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#386	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
345	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
346	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	#388	1	8	yes	—
348	C₂×C₄	#388	1	8	yes	—
349	C₂×C₄	#389	1	8	yes	—
350	C₂×C₄	#389	1	8	yes	—
351	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
368	C₈	—	4	8	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	2	8	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	2	8	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	2	8	no	—
376	C₂²	—	4	4	no	—
377	C₂²	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	#1436	1	8	yes	—
380	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₂×#385	1	2	yes	—
382	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#387	1	2	yes	—
384	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#3018	1	4	yes	—
386	C₄	—	2	8	no	—
387	C₄	—	4	4	no	—
388	C₄	—	4	16	no	—
389	C₄	—	4	8	no	—
390	C₄	—	8	4	no	—
391	C₄	#1436	1	4	yes	—
392	C₄	#1436	1	4	yes	—
393	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
394	C₄	C₂×#387	1	2	yes	—
395	C₄	C₂×#388	1	2	yes	—
396	C₄	C₂×#389	1	2	yes	—
397	C₂	—	2	1	no	—
398	C₂	—	2	8	no	—
399	C₂	—	2	2	no	—
400	C₂	—	2	1	no	—
401	C₂	C₂×#1436	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#20863	1	4	yes	—
403	C₂	#20952	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#120
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×#120
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #10892	C₂	semidirect
7. #10891	C₂	semidirect
14. #2285	C₄	semidirect
29. C₂×#339	C₄	semidirect
79. #384	C₂×C₄	semidirect
81. #382	C₂×C₄	semidirect
93. #339	C₂×C₄	semidirect
94. #339	C₂×C₄	semidirect
147. #117	C₄⋊C₄	semidirect
159. C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	semidirect
194. C₂×C₄²	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2285	2
#33996	2
C₂×#1742	2
#20347	2
C₂²×#339	2
#10892	2
#10891	2