Subgroups — #354539

Order 512.

1926 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1954	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1750	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10922	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10834	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	#2293	—	2	4	no	—
17	#2293	—	2	4	no	—
18	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×#389	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#388	C₄	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1954	C₄	1	16	yes	complemented
25	C₄×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
26	#1750	—	2	16	no	—
27	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄×#97	—	2	4	no	—
30	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×#117	—	2	8	no	—
39	C₂×#117	—	2	4	no	—
40	C₂×#117	—	2	4	no	—
41	C₂×#117	—	2	8	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
58	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	32	yes	—
60	C₂×#97	—	2	8	no	—
61	C₂×#97	—	2	4	no	—
62	C₂×#97	—	2	4	no	—
63	C₂×#97	—	2	4	no	—
64	C₂×#97	D₄	1	8	yes	complemented
65	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	#390	—	2	8	no	—
71	#389	—	2	8	no	—
72	#388	—	2	16	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₄³	D₄	1	4	yes	—
80	C₄³	D₄	1	4	yes	—
81	#336	—	2	16	no	—
82	#336	—	2	4	no	—
83	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
87	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
113	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
114	C₄×D₄	—	2	16	no	—
115	C₄×D₄	—	2	16	no	—
116	#117	—	4	16	no	—
117	#117	—	4	8	no	—
118	#117	—	4	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
133	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
141	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
152	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	64	no	—
154	#97	—	2	16	no	—
155	#97	—	2	16	no	—
156	C₄×C₈	—	2	16	no	—
157	C₄×C₈	—	4	8	no	—
158	#95	—	2	8	no	—
159	#95	—	2	4	no	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	2	no	—
162	C₂⁴	—	2	4	no	—
163	C₂⁴	—	2	4	no	—
164	C₂⁴	—	2	8	no	—
165	C₂⁴	—	2	8	no	—
166	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
167	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×D₄	—	2	8	no	—
169	C₂×D₄	—	2	16	no	—
170	C₂×D₄	—	4	8	no	—
171	C₂×D₄	—	4	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	—	2	8	no	—
216	C₂×C₈	—	2	8	no	—
217	C₂×C₈	—	2	8	no	—
218	C₂×C₈	—	2	8	no	—
219	C₂×C₈	—	2	8	no	—
220	C₂×C₈	—	2	8	no	—
221	C₂×C₈	—	2	16	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	4	4	no	—
224	C₂×C₈	—	4	8	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	C₄×D₄	1	16	yes	—
227	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	16	no	—
236	C₄²	—	4	8	no	—
237	C₄²	—	4	4	no	—
238	C₄²	—	4	2	no	—
239	C₄²	—	4	2	no	—
240	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
241	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
242	C₄²	#121	1	8	yes	—
243	C₄²	#124	1	4	yes	—
244	C₄²	#127	1	4	yes	—
245	C₂³	—	2	8	no	—
246	C₂³	—	2	8	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	8	no	—
249	C₂³	—	4	4	no	—
250	C₂³	—	4	4	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	4	no	—
253	C₂³	—	4	16	no	—
254	C₂³	—	4	16	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
259	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
262	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
264	C₂³	#568	1	4	yes	—
265	D₄	—	4	16	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	16	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	16	no	—
283	C₂×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	16	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#390	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	#405	1	8	yes	—
292	C₂×C₄	#408	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	#433	1	8	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
305	C₈	—	2	16	no	—
306	C₈	—	4	8	no	—
307	C₂²	—	4	16	no	—
308	C₂²	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	8	8	no	—
312	C₂²	—	8	4	no	—
313	C₂²	—	8	4	no	—
314	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₄²×D₄	1	2	yes	—
316	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#2293	1	2	yes	—
318	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#405	1	2	yes	—
320	C₂²	#2875	1	2	yes	—
321	C₂²	C₂×#408	1	2	yes	—
322	C₂²	#2879	1	2	yes	—
323	C₂²	C₂×#433	1	2	yes	—
324	C₂²	#2923	1	2	yes	—
325	C₂²	#2935	1	8	yes	—
326	C₂²	#2969	1	8	yes	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	2	8	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	8	4	no	—
332	C₄	#1750	1	8	yes	complemented
333	C₄	C₄×#121	1	4	yes	—
334	C₄	C₄×#124	1	2	yes	—
335	C₄	C₄×#127	1	2	yes	—
336	C₂	—	8	4	no	—
337	C₂	C₄×#390	1	1	yes	characteristic
338	C₂	C₂×#1750	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#20375	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#20495	1	4	yes	—
341	C₂	#21189	1	2	yes	—
342	C₂	#21268	1	4	yes	—
343	C₂	#21378	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
4. C₂×#1750	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×#97	C₂	semidirect
6. #10922	C₂	semidirect
7. #10834	C₂	semidirect
24. #1954	C₄	semidirect
64. C₂×#97	D₄	semidirect
332. C₄	#1750	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2293	2
C₂×#1954	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
C₂×#1750	2
C₂×C₄×#97	2
#10922	2
#10834	2