Subgroups — #354553

Order 512.

2466 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1957	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1762	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10927	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10841	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₄×D₄	—	2	2	no	—
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×#127	—	2	4	no	—
16	C₄×#127	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#390	—	2	2	no	—
18	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1957	C₄	1	16	yes	complemented
25	#1762	—	2	16	no	—
26	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
27	C₄×#97	—	2	4	no	—
28	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
31	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂×#127	—	2	2	no	—
35	C₂×#127	—	2	4	no	—
36	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂×#127	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	4	16	no	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#102	—	2	16	no	—
57	C₂×#102	—	2	16	no	—
58	C₂×#102	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
59	C₂×#97	—	2	8	no	—
60	C₂×#97	—	2	4	no	—
61	C₂×#97	—	2	4	no	—
62	C₂×#97	—	2	4	no	—
63	C₂×#97	D₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	#390	—	2	16	no	—
68	#390	—	2	4	no	—
69	#390	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	#384	—	2	2	no	—
71	#384	—	2	4	no	—
72	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	#384	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
76	C₂×#95	—	2	2	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₄³	D₄	1	4	yes	—
80	#340	—	2	16	no	—
81	C₂⁵	—	2	2	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
90	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
92	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
98	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
99	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
111	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
112	#127	—	2	8	no	—
113	#127	—	2	16	no	—
114	#127	C₄²	1	16	yes	complemented
115	C₄×D₄	—	2	32	no	—
116	C₄×D₄	—	4	64	no	—
117	C₄×D₄	—	4	16	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
154	#102	—	2	64	no	—
155	#97	—	2	16	no	—
156	#97	—	2	16	no	—
157	C₄×C₈	—	2	16	no	—
158	#95	—	4	8	no	—
159	#95	—	4	4	no	—
160	C₂⁴	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	—	2	8	no	—
162	C₂⁴	—	4	2	no	—
163	C₂⁴	—	4	2	no	—
164	C₂⁴	—	4	4	no	—
165	C₂⁴	—	4	8	no	—
166	C₂⁴	—	4	4	no	—
167	C₂⁴	—	4	4	no	—
168	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	16	no	—
171	C₂×D₄	—	2	8	no	—
172	C₂×D₄	—	2	8	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	2	16	no	—
175	C₂×D₄	—	2	32	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	8	no	—
179	C₂×D₄	—	4	8	no	—
180	C₂×D₄	—	4	16	no	—
181	C₂×D₄	—	4	16	no	—
182	C₂×D₄	—	4	32	no	—
183	C₂×D₄	—	4	32	no	—
184	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
224	C₂×C₈	—	2	8	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	8	no	—
227	C₂×C₈	—	2	8	no	—
228	C₂×C₈	—	2	8	no	—
229	C₂×C₈	—	2	8	no	—
230	C₂×C₈	C₄×D₄	1	16	yes	complemented
231	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	2	4	no	—
241	C₄²	—	2	16	no	—
242	C₄²	—	2	16	no	—
243	C₄²	—	8	8	no	—
244	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
245	C₄²	#117	1	4	yes	—
246	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
247	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
248	C₄²	#121	1	8	yes	—
249	C₂³	—	2	8	no	—
250	C₂³	—	4	8	no	—
251	C₂³	—	4	8	no	—
252	C₂³	—	4	8	no	—
253	C₂³	—	4	16	no	—
254	C₂³	—	4	16	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	8	no	—
258	C₂³	—	8	4	no	—
259	C₂³	—	8	4	no	—
260	C₂³	—	8	4	no	—
261	C₂³	—	8	2	no	—
262	C₂³	—	8	2	no	—
263	C₂³	—	8	8	no	—
264	C₂³	—	8	8	no	—
265	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	#532	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
271	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
273	D₄	—	2	16	no	—
274	D₄	—	4	64	no	—
275	D₄	—	4	8	no	—
276	D₄	—	4	16	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	16	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	32	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	8	no	—
299	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#417	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	#418	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	#440	1	16	yes	—
305	C₂×C₄	#442	1	16	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
317	C₈	—	2	16	no	—
318	C₂²	—	4	16	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	8	16	no	—
321	C₂²	—	8	8	no	—
322	C₂²	—	8	8	no	—
323	C₂²	—	8	8	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	—	8	4	no	—
326	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₄×#124	1	2	yes	—
330	C₂²	C₄×#127	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂×#440	1	4	yes	—
334	C₂²	C₂×#442	1	4	yes	—
335	C₂²	#3138	1	2	yes	—
336	C₂²	#3141	1	2	yes	—
337	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#3151	1	2	yes	—
339	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#3182	1	4	yes	—
341	C₂²	#3184	1	4	yes	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	4	4	no	—
345	C₄	—	8	8	no	—
346	C₄	—	8	4	no	—
347	C₄	#1762	1	16	yes	complemented
348	C₄	C₄²×D₄	1	2	yes	—
349	C₄	#2293	1	2	yes	—
350	C₄	C₄×#121	1	4	yes	—
351	C₂	—	8	8	no	—
352	C₂	C₄×#390	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#1762	1	2	yes	—
354	C₂	#21200	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#21203	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#21410	1	2	yes	—
357	C₂	#21646	1	4	yes	—
358	C₂	#21690	1	2	yes	—
359	C₂	#21692	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1762	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×#97	C₂	semidirect
5. C₄×#384	C₂	semidirect
6. #10927	C₂	semidirect
7. #10841	C₂	semidirect
16. C₄×#127	C₄	semidirect
24. #1957	C₄	semidirect
58. C₂×#102	C₂×C₄	semidirect
63. C₂×#97	D₄	semidirect
66. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
73. #384	C₂×C₄	semidirect
114. #127	C₄²	semidirect
230. C₂×C₈	C₄×D₄	semidirect
347. C₄	#1762	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#127	2
C₂×#1957	2
C₂×#1762	2
C₂×C₄×#97	2
C₄×#384	2
#10927	2
#10841	2