Subgroups — #354573

Order 512.

1774 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34070	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1980	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1759	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×#104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13759	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10933	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	#2328	C₄	1	2	yes	complemented
17	#2327	C₄	1	2	yes	complemented
18	#2326	C₄	1	4	yes	complemented
19	#2325	—	2	4	no	—
20	#2297	C₂²	1	2	yes	—
21	#2290	—	2	4	no	—
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1980	C₄	1	16	yes	complemented
28	#1759	—	2	8	no	—
29	C₄×#104	—	2	8	no	—
30	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	#1726	—	2	4	no	—
33	#1436	—	2	4	no	—
34	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
37	#532	—	2	4	no	—
38	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×#121	—	2	2	no	—
43	C₄×#41	—	2	4	no	—
44	C₄×#41	—	2	4	no	—
45	C₄×#41	—	2	4	no	—
46	C₄×#41	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#117	—	2	2	no	—
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#104	—	2	8	no	—
62	C₂×#104	—	2	8	no	—
63	C₂×#104	—	2	8	no	—
64	C₂×#104	—	2	8	no	—
65	C₂×#104	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
66	C₂×#104	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
67	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
68	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
69	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
70	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
71	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
72	C₂×#97	—	2	2	no	—
73	C₂×#97	—	2	2	no	—
74	C₂×#97	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#388	—	2	8	no	—
81	#387	—	2	8	no	—
82	#386	—	2	4	no	—
83	#386	—	2	8	no	—
84	#385	—	2	8	no	—
85	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#380	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	#376	—	2	4	no	—
93	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#376	D₄	1	4	yes	—
96	C₂×#95	—	2	2	no	—
97	C₂×#95	—	2	4	no	—
98	C₂×#95	—	2	2	no	—
99	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
100	C₄³	—	2	4	no	—
101	#339	—	2	8	no	—
102	#339	—	2	8	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
128	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	complemented
132	#127	—	2	2	no	—
133	#127	C₄²	1	4	yes	complemented
134	#124	—	2	4	no	—
135	#124	C₄²	1	8	yes	complemented
136	#121	—	2	8	no	—
137	#121	—	2	8	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
140	C₄×D₄	—	2	8	no	—
141	C₄×D₄	—	2	8	no	—
142	C₄×D₄	—	2	8	no	—
143	C₄×D₄	—	2	8	no	—
144	C₄×D₄	—	4	8	no	—
145	C₄×D₄	—	4	8	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	4	4	no	—
151	#117	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
188	#104	—	2	32	no	—
189	#104	—	2	32	no	—
190	#97	—	2	8	no	—
191	#97	—	2	8	no	—
192	#97	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	8	no	—
194	C₄×C₈	—	2	8	no	—
195	C₄×C₈	—	2	8	no	—
196	#95	—	2	8	no	—
197	#95	—	2	4	no	—
198	#95	—	2	8	no	—
199	#95	—	4	8	no	—
200	#95	—	4	4	no	—
201	#95	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
202	#95	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
203	C₂⁴	—	2	2	no	—
204	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	#41	—	2	8	no	—
206	#41	—	2	8	no	—
207	#41	—	2	8	no	—
208	#41	—	2	8	no	—
209	#41	—	4	4	no	—
210	#41	—	4	4	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
219	C₂×D₄	—	2	8	no	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	8	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	8	4	no	—
230	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
268	M₁₆	—	2	8	no	—
269	M₁₆	—	2	8	no	—
270	M₁₆	—	2	8	no	—
271	M₁₆	C₄×D₄	1	16	yes	—
272	C₂×C₈	—	2	8	no	—
273	C₂×C₈	—	2	8	no	—
274	C₂×C₈	—	2	8	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	8	no	—
290	C₄²	—	2	8	no	—
291	C₄²	—	4	16	no	—
292	C₄²	—	4	2	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	4	no	—
295	C₄²	—	4	4	no	—
296	C₄²	—	4	8	no	—
297	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
298	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
299	C₄²	#117	1	2	yes	—
300	C₄²	#117	1	2	yes	—
301	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
302	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
303	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
304	C₄²	#121	1	4	yes	—
305	C₄²	#121	1	4	yes	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	4	8	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	#532	1	2	yes	—
316	Q₈	—	2	4	no	—
317	Q₈	—	2	4	no	—
318	Q₈	—	4	2	no	—
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	D₄	—	2	4	no	—
321	D₄	—	2	4	no	—
322	D₄	—	4	8	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	2	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	8	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	8	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	16	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	#390	1	8	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
369	C₈	—	2	16	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	4	8	no	—
376	C₂²	—	4	4	no	—
377	C₂²	—	8	4	no	—
378	C₂²	—	8	4	no	—
379	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₄×#124	1	2	yes	—
383	C₂²	C₄×#127	1	2	yes	—
384	C₂²	#2901	1	4	yes	—
385	C₄	—	2	8	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	4	8	no	—
389	C₄	—	4	4	no	—
390	C₄	—	4	4	no	—
391	C₄	—	8	4	no	—
392	C₄	—	8	4	no	—
393	C₄	C₄²×D₄	1	2	yes	—
394	C₄	#2293	1	2	yes	—
395	C₄	C₄×#121	1	4	yes	—
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	—	2	2	no	—
398	C₂	—	8	4	no	—
399	C₂	C₄×#390	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#20405	1	2	yes	—
401	C₂	#21253	1	2	yes	—
402	C₂	#21384	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1759	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×#104	C₂	semidirect
5. #20329	C₂	semidirect
6. #13759	C₂	semidirect
7. #10933	C₂	semidirect
8. #10851	C₂	semidirect
16. #2328	C₄	semidirect
17. #2327	C₄	semidirect
18. #2326	C₄	semidirect
27. #1980	C₄	semidirect
65. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
66. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
70. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
71. C₄×M₁₆	D₄	semidirect
90. C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
131. C₄⋊Q₈	C₄²	semidirect
133. #127	C₄²	semidirect
135. #124	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34070	2
C₂×#1980	2
C₂×#1759	2
C₂×C₄×#104	2
#20329	2
#13759	2
#10933	2
#10851	2