Subgroups — #354576

Order 512.

1610 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 401 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1974	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1759	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20375	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10930	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10859	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×#135	—	2	4	no	—
12	C₄×#135	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₂×C₄×SD₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1974	C₄	1	16	yes	complemented
28	C₄×#108	—	2	4	no	—
29	#1759	—	2	8	no	—
30	#1750	—	2	4	no	—
31	#1749	—	2	4	no	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
34	#1729	C₂²	1	4	yes	—
35	#1726	—	2	4	no	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#135	—	2	2	no	—
38	C₂×#135	—	2	2	no	—
39	C₂×#135	—	2	4	no	—
40	C₂×#135	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₄×#41	—	2	4	no	—
49	C₄×#41	—	2	4	no	—
50	C₄×#41	—	2	4	no	—
51	C₄×#41	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×#117	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
61	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
62	C₄×D₈	—	2	8	no	—
63	C₂×#108	—	2	4	no	—
64	C₂×#108	—	2	4	no	—
65	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	#427	—	2	2	no	—
67	#427	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×#104	—	2	8	no	—
71	C₂×#104	—	2	8	no	—
72	C₂×#104	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
73	#416	—	2	4	no	—
74	#416	—	2	4	no	—
75	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#408	—	2	8	no	—
78	#408	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂×#97	—	2	4	no	—
83	C₂×#97	—	2	4	no	—
84	C₂×#97	—	2	2	no	—
85	C₂×#97	—	2	4	no	—
86	C₂×#97	—	2	2	no	—
87	C₂×#97	—	2	2	no	—
88	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
91	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
98	#376	—	2	2	no	—
99	#376	D₄	1	4	yes	—
100	C₂×#95	—	2	2	no	—
101	#341	—	2	4	no	—
102	#339	—	2	8	no	—
103	#336	—	2	8	no	—
104	C₂×#41	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
112	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#135	—	2	16	no	—
121	#135	—	2	16	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	C₄²	1	4	yes	—
125	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	C₄²	1	8	yes	—
128	C₂×D₈	—	2	2	no	—
129	C₂×D₈	—	2	2	no	—
130	C₂×D₈	C₄²	1	4	yes	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
156	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
158	C₄×D₄	—	2	8	no	—
159	C₄×D₄	—	2	8	no	—
160	C₄×D₄	—	4	8	no	—
161	C₄×D₄	—	4	8	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	4	4	no	—
167	#117	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
189	#108	—	2	16	no	—
190	#107	—	2	4	no	—
191	#106	—	2	4	no	—
192	#104	—	2	32	no	—
193	#103	—	2	8	no	—
194	#102	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
196	#97	—	2	16	no	—
197	#97	—	2	4	no	—
198	#97	—	2	4	no	—
199	#97	—	4	4	no	—
200	C₄×C₈	—	2	16	no	—
201	C₄×C₈	—	4	4	no	—
202	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
203	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
204	#95	—	2	8	no	—
205	C₂⁴	—	2	2	no	—
206	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	#41	—	2	8	no	—
208	#41	—	2	8	no	—
209	#41	—	2	8	no	—
210	#41	—	2	8	no	—
211	#41	—	4	4	no	—
212	#41	—	4	4	no	—
213	#41	—	4	4	no	—
214	#41	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
221	C₂×D₄	—	2	8	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
244	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	Q₁₆	—	2	8	no	—
259	SD₁₆	—	2	16	no	—
260	D₈	—	2	8	no	—
261	M₁₆	—	2	8	no	—
262	M₁₆	—	2	8	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	M₁₆	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	8	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	4	no	—
278	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
281	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
286	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
287	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	—	2	4	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	—	4	2	no	—
299	C₄²	—	4	8	no	—
300	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
301	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
302	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
303	C₄²	#121	1	2	yes	—
304	C₄²	#121	1	2	yes	—
305	C₄²	#127	1	2	yes	—
306	C₄²	#127	1	2	yes	—
307	C₂³	—	2	4	no	—
308	C₂³	—	2	4	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	#529	1	2	yes	—
317	Q₈	—	2	4	no	—
318	Q₈	—	2	4	no	—
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	Q₈	—	4	2	no	—
321	D₄	—	2	4	no	—
322	D₄	—	2	4	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	D₄	—	4	8	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	8	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	16	no	—
343	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
363	C₈	—	2	4	no	—
364	C₈	—	2	8	no	—
365	C₈	—	4	8	no	—
366	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
367	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	4	8	no	—
373	C₂²	—	4	4	no	—
374	C₂²	—	8	4	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2293	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	C₄×#121	1	2	yes	—
380	C₂²	C₄×#124	1	2	yes	—
381	C₂²	#2957	1	4	yes	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	4	8	no	—
385	C₄	—	4	4	no	—
386	C₄	—	8	4	no	—
387	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
388	C₄	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#2293	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#2297	1	1	yes	characteristic
391	C₄	C₄×#121	1	2	yes	—
392	C₄	C₄×#127	1	2	yes	—
393	C₂	—	2	2	no	—
394	C₂	—	2	2	no	—
395	C₂	—	8	4	no	—
396	C₂	C₄×#390	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#20514	1	2	yes	—
398	C₂	#21240	1	2	yes	—
399	C₂	#21294	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×C₄×#108	C₂	semidirect
4. C₂×#1759	C₂	semidirect
5. #20375	C₂	semidirect
6. C₂×#1726	C₂	semidirect
7. #10930	C₂	semidirect
8. #10859	C₂	semidirect
13. C₂×C₄×Q₁₆	C₄	semidirect
14. C₂×C₄×SD₁₆	C₄	semidirect
15. C₂×C₄×D₈	C₄	semidirect
27. #1974	C₄	semidirect
65. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
72. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
78. #408	C₂×C₄	semidirect
95. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#135	2
C₂×#1974	2
C₂×C₄×#108	2
C₂×#1759	2
#20375	2
C₂×#1726	2
#10930	2
#10859	2