Subgroups — #354601

Order 512.

1762 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1978	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1778	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄×#418	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×#100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10943	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10869	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#442	—	2	2	no	—
12	C₂×#442	—	2	2	no	—
13	C₂×#442	—	2	4	no	—
14	C₂×#442	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1978	C₄	1	16	yes	complemented
27	#1778	—	2	4	no	—
28	#1762	—	2	4	no	—
29	C₄×#102	—	2	4	no	—
30	C₄×#100	—	2	8	no	—
31	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	#1736	C₂²	1	4	yes	—
34	#1726	—	2	2	no	—
35	C₄×#97	—	2	2	no	—
36	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
41	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#442	—	2	16	no	—
60	#442	—	2	16	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×#106	—	2	2	no	—
65	C₂×#106	—	2	2	no	—
66	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#418	—	2	8	no	—
68	#418	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	8	no	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×#100	—	2	8	no	—
74	C₂×#100	—	2	8	no	—
75	C₂×#100	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
76	#405	—	2	4	no	—
77	#405	—	2	4	no	—
78	#405	—	2	4	no	—
79	#405	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
82	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
83	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
84	C₂×#97	—	2	2	no	—
85	C₂×#97	—	2	2	no	—
86	C₂×#97	—	2	1	no	—
87	C₂×#97	—	2	2	no	—
88	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
90	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
91	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
97	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
98	#376	—	2	1	no	—
99	C₄³	—	2	1	no	—
100	#343	—	2	8	no	—
101	#341	—	2	4	no	—
102	#340	—	2	8	no	—
103	C₂⁵	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
120	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
122	C₂×D₈	—	2	8	no	—
123	C₂×D₈	—	2	8	no	—
124	C₂×D₈	—	2	8	no	—
125	C₂×D₈	—	2	8	no	—
126	C₂×D₈	—	2	16	no	—
127	C₂×D₈	C₄²	1	16	yes	complemented
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
152	C₄×D₄	—	2	8	no	—
153	C₄×D₄	—	2	8	no	—
154	C₄×D₄	—	2	8	no	—
155	C₄×D₄	—	2	8	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	4	4	no	—
158	C₄×D₄	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	#117	#41	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
185	#108	—	2	16	no	—
186	#106	—	2	8	no	—
187	#102	—	2	16	no	—
188	#102	—	2	32	no	—
189	#100	—	2	32	no	—
190	#97	—	2	8	no	—
191	#97	—	2	8	no	—
192	#97	—	2	4	no	—
193	#97	—	4	4	no	—
194	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
195	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
196	C₄×C₈	—	2	8	no	—
197	C₄×C₈	—	2	8	no	—
198	C₄×C₈	—	2	4	no	—
199	C₄×C₈	—	4	4	no	—
200	#95	—	2	4	no	—
201	C₂⁴	—	2	4	no	—
202	C₂⁴	—	2	8	no	—
203	C₂⁴	—	4	2	no	—
204	C₂⁴	—	4	2	no	—
205	C₂⁴	—	4	4	no	—
206	C₂⁴	—	8	4	no	—
207	C₂⁴	—	8	4	no	—
208	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	8	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	8	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
239	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
253	D₈	—	2	32	no	—
254	M₁₆	—	2	4	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	M₁₆	—	2	8	no	—
258	M₁₆	—	2	8	no	—
259	M₁₆	—	4	4	no	—
260	M₁₆	—	4	4	no	—
261	M₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
276	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
279	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	8	4	no	—
293	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
294	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
296	C₄²	#121	1	2	yes	—
297	C₄²	#121	1	2	yes	—
298	C₄²	#127	1	4	yes	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	8	no	—
301	C₂³	—	4	4	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	4	8	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	—	8	16	no	—
308	C₂³	—	8	4	no	—
309	C₂³	—	8	4	no	—
310	C₂³	—	8	16	no	—
311	C₂³	—	8	4	no	—
312	C₂³	—	8	4	no	—
313	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
315	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	#529	1	2	yes	—
318	D₄	—	2	8	no	—
319	D₄	—	2	8	no	—
320	D₄	—	4	8	no	—
321	D₄	—	4	4	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	16	no	—
332	C₂×C₄	—	8	16	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
356	C₈	—	2	4	no	—
357	C₈	—	2	8	no	—
358	C₈	—	4	8	no	—
359	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	4	8	no	—
365	C₂²	—	8	8	no	—
366	C₂²	—	8	8	no	—
367	C₂²	—	8	16	no	—
368	C₂²	—	8	4	no	—
369	C₂²	—	8	4	no	—
370	C₂²	—	8	16	no	—
371	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2293	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₄×#121	1	2	yes	—
375	C₂²	C₄×#124	1	2	yes	—
376	C₂²	#3068	1	4	yes	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	4	8	no	—
380	C₄	—	8	4	no	—
381	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
382	C₄	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2293	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2297	1	1	yes	characteristic
385	C₄	C₄×#121	1	2	yes	—
386	C₄	C₄×#127	1	2	yes	—
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	2	1	no	—
389	C₂	—	2	2	no	—
390	C₂	—	8	8	no	—
391	C₂	C₄×#390	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#21249	1	2	yes	—
393	C₂	#21555	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1778	C₂	semidirect
4. C₄×#418	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×#100	C₂	semidirect
6. #20331	C₂	semidirect
7. #10943	C₂	semidirect
8. #10869	C₂	semidirect
14. C₂×#442	C₄	semidirect
26. #1978	C₄	semidirect
63. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
68. #418	C₂×C₄	semidirect
75. C₂×#100	C₂×C₄	semidirect
79. #405	C₂×C₄	semidirect
127. C₂×D₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#442	2
C₂×#1978	2
C₂×#1778	2
C₄×#418	2
C₂×C₄×#100	2
#20331	2
#10943	2
#10869	2