Subgroups — #354644

Order 512.

1566 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 435 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21212	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1757	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20331	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10961	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2932	—	2	2	no	—
13	#2932	—	2	2	no	—
14	#2932	—	2	4	no	—
15	C₂×#435	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1967	C₄	1	4	yes	complemented
29	#1966	C₄	1	2	yes	complemented
30	#1965	C₄	1	2	yes	complemented
31	#1964	C₄	1	8	yes	—
32	#1771	—	2	4	no	—
33	#1757	—	2	16	no	—
34	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
36	#1729	C₂²	1	2	yes	—
37	#1726	—	2	2	no	—
38	C₄×#97	—	2	2	no	—
39	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	—	2	8	no	—
43	C₂×#131	—	2	8	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#532	—	2	1	no	—
52	#532	—	2	1	no	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#532	—	2	2	no	—
55	#532	—	2	1	no	—
56	#532	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#435	—	2	16	no	—
66	#435	—	2	16	no	—
67	#423	—	2	1	no	—
68	#423	—	2	1	no	—
69	#423	—	2	2	no	—
70	#423	—	2	2	no	—
71	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#413	—	2	8	no	—
76	#413	—	2	8	no	—
77	C₂×#101	C₂×C₄	1	8	yes	—
78	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
79	#410	—	2	8	no	—
80	#410	—	2	8	no	—
81	C₂×#99	C₂×C₄	1	16	yes	—
82	#408	—	2	4	no	—
83	#408	—	2	4	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
85	#405	—	2	4	no	—
86	#405	—	2	4	no	—
87	#405	—	2	4	no	—
88	#405	—	2	8	no	—
89	#405	D₄	1	8	yes	complemented
90	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
91	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
92	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂×#97	—	2	2	no	—
95	C₂×#97	—	2	2	no	—
96	C₂×#97	—	2	1	no	—
97	C₂×#97	—	2	2	no	—
98	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
99	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
101	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
102	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
106	#384	—	2	1	no	—
107	#382	—	2	1	no	—
108	#380	C₂×C₄	1	4	yes	—
109	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
112	#376	—	2	1	no	—
113	C₄³	—	2	1	no	—
114	#344	—	2	8	no	—
115	#344	—	2	8	no	—
116	#336	—	2	4	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	4	no	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	—	2	4	no	—
124	C₂×#41	—	2	4	no	—
125	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
127	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	#131	—	4	8	no	—
133	#131	—	4	8	no	—
134	#131	—	4	8	no	—
135	#131	—	4	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
158	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
170	#127	—	2	1	no	—
171	#127	—	2	1	no	—
172	#127	—	2	2	no	—
173	#124	—	2	2	no	—
174	#124	—	2	2	no	—
175	#124	—	2	4	no	—
176	#121	—	2	4	no	—
177	#121	—	2	4	no	—
178	#121	—	2	4	no	—
179	#121	—	2	4	no	—
180	C₄×D₄	—	2	4	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	C₄×D₄	—	2	4	no	—
183	C₄×D₄	—	2	4	no	—
184	#117	—	2	2	no	—
185	#117	—	2	2	no	—
186	#117	—	2	4	no	—
187	#117	—	2	4	no	—
188	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	#117	#41	1	4	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
209	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
213	#101	—	2	16	no	—
214	#100	—	2	16	no	—
215	#99	—	2	32	no	—
216	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
217	#97	—	2	8	no	—
218	#97	—	2	8	no	—
219	#97	—	2	2	no	—
220	#97	—	2	2	no	—
221	#97	—	4	4	no	—
222	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
223	#97	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
224	C₄×C₈	—	2	8	no	—
225	C₄×C₈	—	2	8	no	—
226	C₄×C₈	—	2	2	no	—
227	C₄×C₈	—	2	2	no	—
228	C₄×C₈	—	4	4	no	—
229	#95	—	2	4	no	—
230	#95	—	2	4	no	—
231	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
232	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	#41	—	4	4	no	—
234	#41	—	4	4	no	—
235	#41	—	4	2	no	—
236	#41	—	4	4	no	—
237	#41	—	4	4	no	—
238	#41	—	4	2	no	—
239	#41	—	4	4	no	—
240	#41	—	4	4	no	—
241	#41	—	4	2	no	—
242	#41	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	8	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	8	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	8	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
282	M₁₆	—	2	4	no	—
283	M₁₆	—	2	4	no	—
284	M₁₆	—	2	4	no	—
285	M₁₆	—	2	8	no	—
286	M₁₆	—	4	4	no	—
287	M₁₆	—	4	2	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	M₁₆	—	4	4	no	—
290	M₁₆	—	4	16	no	—
291	M₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	4	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	2	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	4	no	—
302	C₂×C₈	—	2	8	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	16	no	—
306	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
307	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
308	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
309	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
310	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
311	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
312	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
323	C₂²⋊C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
324	C₄²	—	2	4	no	—
325	C₄²	—	2	4	no	—
326	C₄²	—	4	2	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₄²	—	8	4	no	—
329	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
330	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
331	C₄²	#117	1	2	yes	—
332	C₄²	#117	1	2	yes	—
333	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
338	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
339	C₂³	—	2	4	no	—
340	C₂³	—	2	8	no	—
341	C₂³	—	4	2	no	—
342	C₂³	—	4	8	no	—
343	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
347	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
348	Q₈	—	4	2	no	—
349	Q₈	—	4	4	no	—
350	Q₈	—	4	2	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	4	8	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	2	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	4	2	no	—
357	D₄	—	8	4	no	—
358	D₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	8	no	—
361	C₂×C₄	—	2	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	8	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	8	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
396	C₈	—	2	4	no	—
397	C₈	—	2	8	no	—
398	C₈	—	4	4	no	—
399	C₈	—	4	4	no	—
400	C₈	#390	1	8	yes	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	4	2	no	—
405	C₂²	—	4	2	no	—
406	C₂²	—	4	8	no	—
407	C₂²	—	4	4	no	—
408	C₂²	—	8	8	no	—
409	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	C₄²×D₄	1	2	yes	—
411	C₂²	C₄×#121	1	2	yes	—
412	C₂²	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
414	C₄	—	2	2	no	—
415	C₄	—	2	2	no	—
416	C₄	—	2	2	no	—
417	C₄	—	2	2	no	—
418	C₄	—	4	8	no	—
419	C₄	—	4	4	no	—
420	C₄	—	8	4	no	—
421	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
422	C₄	#2293	1	2	yes	—
423	C₄	#2297	1	1	yes	characteristic
424	C₄	C₄×#121	1	2	yes	—
425	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
426	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
427	C₂	—	2	2	no	—
428	C₂	—	2	1	no	—
429	C₂	—	2	2	no	—
430	C₂	—	2	1	no	—
431	C₂	—	8	4	no	—
432	C₂	C₄×#390	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#20401	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20438	C₂	semidirect
5. C₂×#1757	C₂	semidirect
6. #20331	C₂	semidirect
7. #10961	C₂	semidirect
8. #10856	C₂	semidirect
9. #10855	C₂	semidirect
15. C₂×#435	C₄	semidirect
28. #1967	C₄	semidirect
29. #1966	C₄	semidirect
30. #1965	C₄	semidirect
89. #405	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2932	2
#21218	2
#21212	2
#20438	2
C₂×#1757	2
#20331	2
#10961	2
#10856	2
#10855	2