Subgroups — #354753

Order 512.

1354 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 311 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34074	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1986	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20329	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13759	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10886	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10851	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10701	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#339	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#2331	C₄	1	4	yes	complemented
14	#2330	C₄	1	4	yes	complemented
15	#2329	—	2	4	no	—
16	#2296	C₂²	1	2	yes	—
17	#2295	—	2	4	no	—
18	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1986	C₄	1	16	yes	complemented
25	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
29	#1726	—	2	4	no	—
30	#1436	—	2	4	no	—
31	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
33	#533	—	2	4	no	—
34	#533	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
49	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
50	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
51	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₄×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
53	C₂×#97	—	2	2	no	—
54	C₂×#97	—	2	2	no	—
55	C₂×#97	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
59	#391	—	2	8	no	—
60	#389	—	2	8	no	—
61	#389	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	#387	—	2	8	no	—
63	#387	—	2	8	no	—
64	#385	—	2	4	no	—
65	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#380	—	2	2	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
72	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
74	#376	—	2	2	no	—
75	#376	—	2	4	no	—
76	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#376	D₄	1	4	yes	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	C₂×#95	—	2	4	no	—
81	C₂×#95	—	2	2	no	—
82	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
83	C₄³	—	2	2	no	—
84	C₄³	—	2	4	no	—
85	#339	—	2	8	no	—
86	#339	—	2	8	no	—
87	#339	C₂×C₄	1	16	yes	—
88	#339	C₂×C₄	1	16	yes	—
89	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
100	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
101	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
104	C₄⋊Q₈	C₄²	1	8	yes	complemented
105	#125	—	2	4	no	—
106	#125	C₄²	1	8	yes	complemented
107	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
109	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
110	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
111	#117	—	2	4	no	—
112	#117	—	2	4	no	—
113	#117	—	2	4	no	—
114	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
149	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
150	#97	—	2	8	no	—
151	#97	—	2	8	no	—
152	#97	—	2	8	no	—
153	C₄×C₈	—	2	8	no	—
154	C₄×C₈	—	2	8	no	—
155	C₄×C₈	—	2	8	no	—
156	#95	—	2	8	no	—
157	#95	—	2	4	no	—
158	#95	—	2	8	no	—
159	#95	—	2	8	no	—
160	#95	—	4	8	no	—
161	#95	—	4	4	no	—
162	#95	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
163	#95	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
164	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
166	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
198	M₁₆	—	2	8	no	—
199	M₁₆	—	2	8	no	—
200	M₁₆	—	2	8	no	—
201	M₁₆	C₄×Q₈	1	16	yes	—
202	C₂×C₈	—	2	8	no	—
203	C₂×C₈	—	2	8	no	—
204	C₂×C₈	—	2	8	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
211	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
212	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
213	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
214	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₄²	—	2	8	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	8	no	—
221	C₄²	—	2	8	no	—
222	C₄²	—	4	16	no	—
223	C₄²	—	4	4	no	—
224	C₄²	—	4	4	no	—
225	C₄²	—	4	4	no	—
226	C₄²	—	8	8	no	—
227	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
228	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
229	C₄²	#117	1	2	yes	—
230	C₄²	#117	1	2	yes	—
231	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
232	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
233	C₄²	C₄×Q₈	1	8	yes	—
234	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
235	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
240	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	#532	1	2	yes	—
242	Q₈	—	8	8	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	4	8	no	—
255	C₂×C₄	—	4	8	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	8	4	no	—
265	C₂×C₄	—	8	4	no	—
266	C₂×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	#391	1	8	yes	—
270	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
281	C₈	—	2	16	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	2	no	—
284	C₂²	—	2	4	no	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	C₄×#124	1	2	yes	—
291	C₂²	C₄×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
292	C₂²	#2901	1	4	yes	—
293	C₄	—	2	8	no	—
294	C₄	—	2	4	no	—
295	C₄	—	2	4	no	—
296	C₄	—	4	8	no	—
297	C₄	—	4	4	no	—
298	C₄	—	4	8	no	—
299	C₄	—	8	4	no	—
300	C₄	—	8	4	no	—
301	C₄	C₄²×Q₈	1	2	yes	—
302	C₄	#2295	1	2	yes	—
303	C₄	C₄×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
304	C₂	—	2	2	no	—
305	C₂	—	2	2	no	—
306	C₂	C₄×#391	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#20405	1	2	yes	—
308	C₂	#21307	1	2	yes	—
309	C₂	#21384	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. #2331	C₄	semidirect
14. #2330	C₄	semidirect
24. #1986	C₄	semidirect
52. C₄×M₁₆	Q₈	semidirect
104. C₄⋊Q₈	C₄²	semidirect
106. #125	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34074	2
C₂×#1986	2
#20329	2
#13759	2
#10886	2
#10851	2
#10701	2
C₄×#339	2