Subgroups — #354801

Order 512.

4402 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1783	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×#100	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20377	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10762	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10728	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂×#518	—	2	16	no	—
9	C₂×#518	—	2	8	no	—
10	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
16	C₂²×#100	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#407	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#1783	C₄	1	16	yes	complemented
20	C₄×#100	—	2	16	no	—
21	#1750	—	2	8	no	—
22	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	complemented
23	#1728	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂⁶	C₂×C₄	1	2	yes	—
25	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
26	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
27	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
28	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
29	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
31	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
36	#518	—	2	64	no	—
37	#518	—	2	64	no	—
38	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄×D₄	D₄	1	16	yes	—
47	C₂×#117	—	2	4	no	—
48	C₂×#117	—	2	8	no	—
49	C₂×#117	—	2	8	no	—
50	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
56	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#100	—	2	16	no	—
64	C₂×#100	—	2	16	no	—
65	C₂×#100	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
66	#407	—	2	8	no	—
67	#407	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
69	C₄×M₁₆	—	2	16	no	—
70	C₂×#97	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
72	#343	—	2	16	no	—
73	#336	—	2	8	no	—
74	C₂⁵	—	2	8	no	—
75	C₂⁵	—	2	4	no	—
76	C₂⁵	—	2	8	no	—
77	C₂⁵	—	2	4	no	—
78	C₂⁵	—	8	8	no	—
79	C₂⁵	C₄²	1	8	yes	—
80	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	C₄²	1	8	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
98	C₂²×D₄	#41	1	8	yes	—
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
106	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
108	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
120	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
121	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
122	C₄×D₄	—	2	128	no	—
123	C₄×D₄	—	2	64	no	—
124	C₄×D₄	—	2	32	no	—
125	C₄×D₄	—	2	32	no	—
126	#117	—	2	32	no	—
127	#117	—	2	16	no	—
128	#117	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	128	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
147	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	#100	—	2	64	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
155	#97	—	4	8	no	—
156	C₄×C₈	—	4	8	no	—
157	C₂⁴	—	2	16	no	—
158	C₂⁴	—	2	16	no	—
159	C₂⁴	—	2	32	no	—
160	C₂⁴	—	2	2	no	—
161	C₂⁴	—	2	4	no	—
162	C₂⁴	—	2	4	no	—
163	C₂⁴	—	2	2	no	—
164	C₂⁴	—	2	4	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	2	32	no	—
167	C₂⁴	—	2	16	no	—
168	C₂⁴	—	4	4	no	—
169	C₂⁴	—	4	8	no	—
170	C₂⁴	—	4	8	no	—
171	C₂⁴	—	8	16	no	—
172	C₂⁴	—	8	16	no	—
173	C₂⁴	—	8	16	no	—
174	C₂⁴	—	8	16	no	—
175	C₂⁴	—	8	16	no	—
176	C₂⁴	—	8	32	no	—
177	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂×C₄²	1	8	yes	—
179	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
181	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
182	C₂⁴	#117	1	8	yes	—
183	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×D₄	—	2	16	no	—
185	C₂×D₄	—	2	16	no	—
186	C₂×D₄	—	2	32	no	—
187	C₂×D₄	—	2	256	no	—
188	C₂×D₄	—	2	32	no	—
189	C₂×D₄	—	2	16	no	—
190	C₂×D₄	—	2	16	no	—
191	C₂×D₄	—	2	16	no	—
192	C₂×D₄	—	2	16	no	—
193	C₂×D₄	—	2	16	no	—
194	C₂×D₄	—	2	16	no	—
195	C₂×D₄	—	2	16	no	—
196	C₂×D₄	C₄×D₄	1	32	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	16	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
232	M₁₆	—	2	32	no	—
233	M₁₆	—	4	16	no	—
234	C₂×C₈	—	2	16	no	—
235	C₂×C₈	—	4	8	no	—
236	C₂×C₈	—	4	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
243	C₄²	—	2	16	no	—
244	C₄²	—	2	8	no	—
245	C₄²	#120	1	8	yes	—
246	C₄²	#120	1	8	yes	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	64	no	—
249	C₂³	—	2	8	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	—	2	8	no	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	4	4	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	—	4	8	no	—
263	C₂³	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	4	16	no	—
265	C₂³	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	4	8	no	—
267	C₂³	—	4	8	no	—
268	C₂³	—	4	16	no	—
269	C₂³	—	4	16	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	8	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	8	no	—
275	C₂³	—	8	32	no	—
276	C₂³	—	8	64	no	—
277	C₂³	—	8	64	no	—
278	C₂³	—	8	32	no	—
279	C₂³	—	8	32	no	—
280	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
281	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
282	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
287	D₄	—	2	64	no	—
288	D₄	—	2	64	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	32	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	8	32	no	—
306	C₂×C₄	—	8	32	no	—
307	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#379	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
314	C₈	—	4	16	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	2	8	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	16	no	—
323	C₂²	—	4	16	no	—
324	C₂²	—	4	16	no	—
325	C₂²	—	4	16	no	—
326	C₂²	—	4	16	no	—
327	C₂²	—	4	8	no	—
328	C₂²	—	4	8	no	—
329	C₂²	—	4	8	no	—
330	C₂²	—	4	8	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	4	16	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	16	no	—
335	C₂²	—	8	64	no	—
336	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
337	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#2280	1	2	yes	—
340	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#2888	1	4	yes	—
342	C₄	—	2	8	no	—
343	C₄	—	2	4	no	—
344	C₄	—	4	4	no	—
345	C₄	—	4	8	no	—
346	C₄	C₄×#120	1	8	yes	—
347	C₂	—	2	2	no	—
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	4	4	no	—
350	C₂	—	4	16	no	—
351	C₂	C₄×#379	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20398	1	2	yes	—
353	C₂	#20592	1	2	yes	—
354	C₂	#20729	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×C₄×#100	C₂	semidirect
4. #20377	C₂	semidirect
5. #10762	C₂	semidirect
6. #10728	C₂	semidirect
18. C₂×C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
19. #1783	C₄	semidirect
22. C₂×#343	C₂²	semidirect
23. #1728	C₂²	semidirect
65. C₂×#100	C₂×C₄	semidirect
67. #407	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#518	2
C₂×#1783	2
C₂×C₄×#100	2
#20377	2
#10762	2
#10728	2