Subgroups — #354875

Order 512.

1416 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1827	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1757	C₂	1	2	yes	maximal
4	#10825	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10817	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10759	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10706	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10699	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×#131	—	2	8	no	—
16	C₂×#405	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#405	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
22	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	2	yes	complemented
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#1827	C₄	1	16	yes	complemented
26	#1757	—	2	8	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
29	#1735	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#131	—	2	4	no	—
36	C₂×#131	—	2	4	no	—
37	C₂×#131	—	2	4	no	—
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	2	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₄×#41	—	2	4	no	—
52	C₄×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
56	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#413	—	2	4	no	—
62	#413	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×#101	—	2	2	no	—
64	C₂×#100	—	2	2	no	—
65	#410	—	2	4	no	—
66	#410	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×#99	—	2	4	no	—
68	#405	—	2	8	no	—
69	#405	—	2	4	no	—
70	#405	—	2	8	no	—
71	#405	—	2	4	no	—
72	#405	—	2	8	no	—
73	#405	—	2	8	no	—
74	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
75	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
76	C₂×#97	—	2	4	no	—
77	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	#344	—	2	8	no	—
91	#341	—	2	4	no	—
92	#340	—	2	4	no	—
93	#339	C₂×C₄	1	16	yes	—
94	#338	—	2	4	no	—
95	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
96	H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	1	16	yes	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	#131	—	2	32	no	—
111	#131	—	2	16	no	—
112	#131	—	2	16	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
152	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
153	C₄×D₄	—	2	8	no	—
154	C₄×D₄	—	2	16	no	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	4	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	C₄²	1	8	yes	—
161	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
162	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄²	C₄²	1	8	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	#101	—	2	8	no	—
180	#100	—	2	8	no	—
181	#99	—	2	16	no	—
182	#97	—	2	4	no	—
183	#97	—	2	4	no	—
184	#97	—	2	4	no	—
185	#97	—	4	8	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	4	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	—	2	4	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	4	no	—
192	C₄×C₈	—	2	2	no	—
193	C₄×C₈	—	4	8	no	—
194	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
195	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	#41	—	2	8	no	—
197	#41	—	2	8	no	—
198	#41	—	2	8	no	—
199	#41	—	2	8	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
208	C₂×D₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	M₁₆	—	2	16	no	—
233	M₁₆	—	2	8	no	—
234	M₁₆	—	2	8	no	—
235	M₁₆	—	2	16	no	—
236	M₁₆	—	2	8	no	—
237	M₁₆	—	2	8	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	16	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	2	8	no	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	#117	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
267	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄²	—	2	1	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	1	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	8	no	—
281	C₄²	—	2	8	no	—
282	C₄²	—	4	4	no	—
283	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
284	C₄²	C₂×C₄²	1	4	yes	—
285	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
291	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
293	C₂³	#529	1	2	yes	—
294	C₂³	#529	1	2	yes	—
295	Q₈	—	2	8	no	—
296	D₄	—	2	16	no	—
297	D₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	16	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	8	no	—
314	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	4	no	—
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	—	4	8	no	—
333	C₈	#381	1	2	yes	—
334	C₈	#381	1	2	yes	—
335	C₈	#381	1	4	yes	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2283	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2283	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₄×#123	1	4	yes	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	4	2	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	8	8	no	—
353	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
354	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
355	C₄	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2280	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₄×#123	1	4	yes	—
358	C₂	—	2	1	no	—
359	C₂	—	2	4	no	—
360	C₂	—	2	1	no	—
361	C₂	—	4	4	no	—
362	C₂	C₄×#381	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#20787	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	#117
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2283
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #10825	C₂	semidirect
5. #10817	C₂	semidirect
8. #10706	C₂	semidirect
9. #10699	C₂	semidirect
16. C₂×#405	C₄	semidirect
17. C₂×#405	C₄	semidirect
21. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
23. C₂²×C₄×C₈	C₄	semidirect
25. #1827	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#131	2
C₂×#1827	2
C₂×#1757	2
#10825	2
#10817	2
#10760	2
#10759	2
#10706	2
#10699	2