Subgroups — #354907

Order 512.

1854 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄×C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1810	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20658	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1772	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20385	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10859	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10818	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10719	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10706	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	—	2	8	no	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2280	C₂²	1	2	yes	—
24	#1810	C₄	1	8	yes	complemented
25	#1808	C₄	1	4	yes	complemented
26	#1807	C₄	1	4	yes	complemented
27	#1772	—	2	8	no	—
28	#1752	—	2	4	no	—
29	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	#1735	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
34	#1729	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
39	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
40	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
41	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	C₂×#108	—	2	4	no	—
64	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
65	#427	—	2	4	no	—
66	#427	—	2	4	no	—
67	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
68	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
69	#407	—	2	4	no	—
70	#407	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
72	#405	—	2	8	no	—
73	#405	—	2	8	no	—
74	C₂×#97	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	32	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
85	#381	—	2	2	no	—
86	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
87	#379	—	2	2	no	—
88	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
89	#341	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
90	#340	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
91	#339	—	2	8	no	—
92	#339	—	2	8	no	—
93	#336	—	2	8	no	—
94	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	C₄²	1	8	yes	—
134	C₂²×C₈	C₄²	1	8	yes	—
135	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
136	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	#117	—	2	4	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
176	#108	—	2	16	no	—
177	#107	—	2	8	no	—
178	#106	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
180	#97	—	4	8	no	—
181	C₄×C₈	—	2	8	no	—
182	C₄×C₈	—	2	8	no	—
183	C₄×C₈	—	2	8	no	—
184	C₄×C₈	—	4	8	no	—
185	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
186	#95	—	2	8	no	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	—	2	2	no	—
189	C₂⁴	—	2	8	no	—
190	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
191	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
192	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
193	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	M₁₆	—	2	8	no	—
238	M₁₆	—	2	8	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	4	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	16	no	—
250	C₂×C₈	—	2	16	no	—
251	C₂×C₈	—	2	16	no	—
252	C₂×C₈	—	2	16	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
258	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
265	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
266	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
267	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
269	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
277	C₄²	—	2	16	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	4	4	no	—
283	C₄²	—	4	4	no	—
284	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
285	C₄²	#117	1	4	yes	—
286	C₂³	—	2	16	no	—
287	C₂³	—	2	16	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	8	no	—
293	C₂³	—	2	8	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
297	C₂³	#443	1	8	yes	—
298	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	#525	1	2	yes	—
302	C₂³	#529	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	—	2	64	no	—
304	C₂×C₄	—	2	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	16	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	16	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
341	C₈	—	2	4	no	—
342	C₈	—	2	4	no	—
343	C₈	—	4	8	no	—
344	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
345	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
346	C₈	#380	1	4	yes	—
347	C₈	#380	1	4	yes	—
348	C₂²	—	2	8	no	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	2	16	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	16	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	#1772	1	8	yes	complemented
359	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#2283	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₄×#121	1	2	yes	—
363	C₂²	C₄×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂×#443	1	4	yes	—
365	C₄	—	2	8	no	—
366	C₄	—	2	8	no	—
367	C₄	—	2	4	no	—
368	C₄	—	8	8	no	—
369	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
370	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
371	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
373	C₄	C₄×#121	1	2	yes	—
374	C₄	C₄×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	2	8	no	—
378	C₂	—	2	2	no	—
379	C₂	C₄×#380	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂×#1772	1	2	yes	—
381	C₂	#21544	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₈	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ C₂⁴×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1772	C₂	semidirect
6. #10859	C₂	semidirect
7. #10818	C₂	semidirect
9. #10706	C₂	semidirect
18. C₂²×C₄×C₈	C₄	semidirect
24. #1810	C₄	semidirect
25. #1808	C₄	semidirect
26. #1807	C₄	semidirect
64. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×#107	C₂×C₄	semidirect
68. C₂×#106	C₂×C₄	semidirect
89. #341	C₂×C₄	semidirect
90. #340	C₂×C₄	semidirect
185. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect
358. C₂²	#1772	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄×C₈	2
C₂×#1810	2
#20658	2
C₂×#1772	2
#20385	2
#10859	2
#10818	2
#10719	2
#10706	2