Subgroups — #354909

Order 512.

1674 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1772	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20386	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10860	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10818	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10719	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10707	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2280	C₂²	1	2	yes	—
24	#1811	C₄	1	8	yes	complemented
25	#1809	C₄	1	8	yes	complemented
26	#1772	—	2	8	no	—
27	#1753	—	2	8	no	—
28	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
29	#1735	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	#1729	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	#427	—	2	4	no	—
62	#427	—	2	4	no	—
63	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
64	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
65	#407	—	2	4	no	—
66	#407	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
68	#405	—	2	8	no	—
69	#405	—	2	8	no	—
70	C₄×M₁₆	—	2	32	no	—
71	C₂×#97	—	2	4	no	—
72	C₂×#97	—	2	4	no	—
73	C₂×#97	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
81	#381	—	2	2	no	—
82	#380	C₂×C₄	1	8	yes	—
83	#379	—	2	2	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	#341	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
86	#340	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
87	#339	—	2	8	no	—
88	#339	—	2	8	no	—
89	#336	—	2	8	no	—
90	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
100	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	C₄²	1	16	yes	—
124	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	#117	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
168	#108	—	2	16	no	—
169	#107	—	2	8	no	—
170	#106	—	2	8	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
172	#97	—	2	8	no	—
173	#97	—	2	8	no	—
174	#97	—	4	8	no	—
175	C₄×C₈	—	2	8	no	—
176	C₄×C₈	—	4	8	no	—
177	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
178	#95	—	2	8	no	—
179	C₂⁴	—	2	2	no	—
180	C₂⁴	—	2	2	no	—
181	C₂⁴	—	4	4	no	—
182	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
183	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
184	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
185	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	M₁₆	—	2	32	no	—
230	M₁₆	—	2	32	no	—
231	M₁₆	—	2	8	no	—
232	M₁₆	—	2	8	no	—
233	M₁₆	—	4	4	no	—
234	M₁₆	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
257	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
265	C₄²	—	2	16	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	4	4	no	—
271	C₄²	—	4	4	no	—
272	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
273	C₄²	#117	1	4	yes	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	8	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	8	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
285	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	#525	1	2	yes	—
289	C₂³	#529	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	—	2	16	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	32	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	16	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	2	4	no	—
330	C₈	—	4	8	no	—
331	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
332	C₈	#380	1	8	yes	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	8	no	—
342	C₂²	—	4	8	no	—
343	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2283	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₄×#121	1	2	yes	—
347	C₂²	C₄×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
348	C₂²	#2956	1	4	yes	—
349	C₄	—	2	8	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	8	8	no	—
353	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
354	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
355	C₄	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₄×#121	1	2	yes	—
358	C₄	C₄×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
359	C₂	—	2	1	no	—
360	C₂	—	2	1	no	—
361	C₂	—	2	2	no	—
362	C₂	—	4	4	no	—
363	C₂	C₄×#380	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20445	1	2	yes	—
365	C₂	#21549	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1772	C₂	semidirect
6. #10860	C₂	semidirect
7. #10818	C₂	semidirect
9. #10707	C₂	semidirect
18. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
24. #1811	C₄	semidirect
25. #1809	C₄	semidirect
60. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
63. C₂×#107	C₂×C₄	semidirect
64. C₂×#106	C₂×C₄	semidirect
85. #341	C₂×C₄	semidirect
86. #340	C₂×C₄	semidirect
177. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×M₁₆	2
C₂×#1811	2
#20660	2
C₂×#1772	2
#20386	2
#10860	2
#10818	2
#10719	2
#10707	2