Subgroups — #354923

Order 512.

1762 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 315 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1807	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄×#106	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13777	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10861	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10821	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10722	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10703	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#405	—	2	8	no	—
14	C₂×#405	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
21	#1807	C₄	1	16	yes	complemented
22	C₄×#106	—	2	8	no	—
23	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
26	#1437	—	2	4	no	—
27	#1436	—	2	4	no	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#117	—	2	4	no	—
43	C₂×#117	—	2	4	no	—
44	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#106	—	2	8	no	—
54	C₂×#106	—	2	8	no	—
55	C₂×#106	C₂×C₄	1	16	yes	—
56	#405	—	2	32	no	—
57	C₂×#97	—	2	4	no	—
58	C₂×#97	—	2	4	no	—
59	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	—
65	#380	—	2	8	no	—
66	#380	C₂×C₄	1	16	yes	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
69	C₂×#95	—	2	4	no	—
70	C₂×#95	—	2	4	no	—
71	C₂×#95	—	2	8	no	—
72	#340	—	2	8	no	—
73	#340	—	2	8	no	—
74	#340	C₂×C₄	1	16	yes	—
75	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
81	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
102	C₂²×C₈	C₄²	1	16	yes	complemented
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
112	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
113	#117	—	2	8	no	—
114	#117	—	2	8	no	—
115	#117	—	2	16	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	16	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
130	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄²	—	8	8	no	—
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
140	#106	—	2	32	no	—
141	#97	—	2	8	no	—
142	#97	—	2	8	no	—
143	C₄×C₈	—	2	8	no	—
144	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
145	#95	—	2	16	no	—
146	#95	—	4	8	no	—
147	#95	—	8	8	no	—
148	C₂⁴	—	2	2	no	—
149	C₂⁴	—	2	2	no	—
150	C₂⁴	—	2	8	no	—
151	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
153	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
177	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
184	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
194	M₁₆	—	2	32	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂×C₈	—	2	8	no	—
202	C₂×C₈	—	2	8	no	—
203	C₂×C₈	—	2	8	no	—
204	C₂×C₈	—	2	32	no	—
205	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
206	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
207	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
208	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
210	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
211	C₂×C₈	C₄×D₄	1	16	yes	—
212	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	2	no	—
221	C₄²	—	2	4	no	—
222	C₄²	—	8	16	no	—
223	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₄²	#117	1	4	yes	—
225	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
226	C₂³	—	2	8	no	—
227	C₂³	—	2	8	no	—
228	C₂³	—	2	8	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	8	no	—
232	C₂³	—	4	4	no	—
233	C₂³	—	4	4	no	—
234	C₂³	—	4	4	no	—
235	C₂³	—	4	4	no	—
236	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
237	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
240	C₂³	#532	1	2	yes	—
241	C₂³	#577	1	8	yes	—
242	C₂×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	8	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	16	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	16	no	—
258	C₂×C₄	—	4	16	no	—
259	C₂×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂×C₄	—	8	8	no	—
261	C₂×C₄	—	8	8	no	—
262	C₂×C₄	—	8	8	no	—
263	C₂×C₄	—	8	8	no	—
264	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	#380	1	8	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
279	C₈	—	2	4	no	—
280	C₈	—	2	4	no	—
281	C₈	—	2	4	no	—
282	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
283	C₂²	—	2	4	no	—
284	C₂²	—	2	8	no	—
285	C₂²	—	4	16	no	—
286	C₂²	—	4	4	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	C₄×#121	1	4	yes	—
292	C₂²	#2912	1	4	yes	—
293	C₂²	#2949	1	4	yes	—
294	C₂²	#2952	1	4	yes	—
295	C₂²	#3057	1	4	yes	—
296	C₂²	#3060	1	4	yes	—
297	C₂²	#3173	1	4	yes	—
298	C₂²	#3174	1	4	yes	—
299	C₄	—	2	8	no	—
300	C₄	—	2	4	no	—
301	C₄	—	4	4	no	—
302	C₄	—	8	16	no	—
303	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
305	C₄	#2280	1	1	yes	characteristic
306	C₄	#2283	1	1	yes	characteristic
307	C₄	C₄×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
308	C₂	—	4	4	no	—
309	C₂	C₄×#380	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#20454	1	2	yes	—
311	C₂	#20662	1	2	yes	—
312	C₂	#20820	1	2	yes	—
313	C₂	#21523	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×C₄×#106	C₂	semidirect
5. #10861	C₂	semidirect
6. #10821	C₂	semidirect
8. #10703	C₂	semidirect
14. C₂×#405	C₄	semidirect
21. #1807	C₄	semidirect
102. C₂²×C₈	C₄²	semidirect
144. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#405	2
C₂×#1807	2
C₂×C₄×#106	2
#13777	2
#10861	2
#10821	2
#10722	2
#10703	2