Subgroups — #354936

Order 512.

1522 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2875	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1812	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20451	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#410	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10866	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10814	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10759	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
14	#2875	—	2	8	no	—
15	C₂×#405	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂×#405	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×M₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×#97	C₄	1	2	yes	complemented
22	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₄×#117	C₂²	1	4	yes	—
24	#1812	C₄	1	16	yes	complemented
25	#1776	—	2	8	no	—
26	C₄×#99	—	2	8	no	—
27	#1740	C₂²	1	4	yes	—
28	#1735	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#131	—	2	4	no	—
33	C₂×#131	—	2	4	no	—
34	C₂×#131	—	2	4	no	—
35	C₂×#131	—	2	4	no	—
36	C₂×#131	—	2	4	no	—
37	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₄×#41	—	2	4	no	—
47	C₄×#41	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#117	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#427	—	2	8	no	—
57	#427	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
58	C₂×#107	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	—	2	4	no	—
60	#410	—	2	8	no	—
61	#410	C₂×C₄	1	16	yes	—
62	C₂×#99	—	2	8	no	—
63	#405	—	2	4	no	—
64	#405	—	2	4	no	—
65	#405	—	2	8	no	—
66	#405	—	2	8	no	—
67	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
68	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
69	C₂×#97	—	2	8	no	—
70	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#97	D₄	1	8	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
83	#376	—	2	4	no	—
84	C₄³	—	2	4	no	—
85	#342	—	2	8	no	—
86	#340	—	2	8	no	—
87	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
88	H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	2	no	—
93	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	#131	—	2	32	no	—
103	#131	—	2	16	no	—
104	#131	—	2	16	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	C₄²	1	8	yes	complemented
115	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	C₄²	1	8	yes	complemented
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
135	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
136	C₄×D₄	—	2	16	no	—
137	C₄×D₄	—	2	8	no	—
138	#117	—	2	2	no	—
139	#117	—	2	2	no	—
140	#117	—	2	8	no	—
141	#117	—	2	4	no	—
142	#117	—	2	4	no	—
143	#117	—	2	8	no	—
144	#117	—	2	8	no	—
145	#117	C₂²×C₄	1	16	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
163	#107	—	2	16	no	—
164	#106	—	2	16	no	—
165	#99	—	2	32	no	—
166	#97	—	2	4	no	—
167	#97	—	2	4	no	—
168	#97	—	2	4	no	—
169	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
170	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
172	#97	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
173	C₄×C₈	—	2	4	no	—
174	C₄×C₈	—	2	4	no	—
175	C₄×C₈	—	2	4	no	—
176	#95	—	4	8	no	—
177	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	#41	—	2	8	no	—
180	#41	—	2	8	no	—
181	#41	—	2	8	no	—
182	#41	—	2	8	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
191	C₂×D₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
215	M₁₆	—	2	16	no	—
216	M₁₆	—	2	8	no	—
217	M₁₆	—	2	8	no	—
218	M₁₆	—	2	16	no	—
219	C₂×C₈	—	2	16	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	8	no	—
229	C₂×C₈	—	2	16	no	—
230	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
231	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
241	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	8	no	—
253	C₄²	—	2	16	no	—
254	C₄²	—	4	8	no	—
255	C₄²	—	8	16	no	—
256	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
258	C₄²	#117	1	2	yes	—
259	C₄²	#117	1	2	yes	—
260	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
269	C₂³	#532	1	2	yes	—
270	Q₈	—	2	8	no	—
271	D₄	—	2	16	no	—
272	D₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	16	no	—
285	C₂×C₄	—	8	8	no	—
286	C₂×C₄	—	8	16	no	—
287	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₈	—	2	2	no	—
305	C₈	—	2	2	no	—
306	C₈	—	2	4	no	—
307	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
308	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	2	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₄×#121	1	4	yes	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	4	4	no	—
325	C₄	—	8	16	no	—
326	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₄	C₄×#117	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#2280	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#2283	1	1	yes	characteristic
330	C₄	C₄×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
331	C₂	—	2	4	no	—
332	C₂	—	2	1	no	—
333	C₂	—	2	1	no	—
334	C₂	—	4	4	no	—
335	C₂	C₄×#380	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#20671	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#117
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#380
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20451	C₂	semidirect
5. #10866	C₂	semidirect
6. #10814	C₂	semidirect
8. C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	semidirect
15. C₂×#405	C₄	semidirect
16. C₂×#405	C₄	semidirect
19. C₂×C₄×M₁₆	C₄	semidirect
21. C₂²×#97	C₄	semidirect
24. #1812	C₄	semidirect
57. #427	C₂×C₄	semidirect
88. H(3,ℤ/4)	C₂×C₄	semidirect
114. C₂×M₁₆	C₄²	semidirect
124. C₂²×C₈	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2875	2
C₂×#1812	2
#20451	2
C₄×#410	2
#10866	2
#10814	2
#10759	2
C₄×H(3,ℤ/4)	2