Subgroups — #354979

Order 512.

1178 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1773	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1772	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20438	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂×#1726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10860	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10859	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10840	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1848	C₄	1	8	yes	complemented
25	#1846	C₄	1	2	yes	complemented
26	#1846	C₄	1	2	yes	complemented
27	#1845	C₄	1	2	yes	complemented
28	#1844	C₄	1	2	yes	complemented
29	#1773	—	2	8	no	—
30	#1772	—	2	8	no	—
31	#1771	—	2	8	no	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
34	#1729	C₂²	1	4	yes	—
35	#1726	C₄	1	8	yes	complemented
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#108	—	2	4	no	—
46	C₂×#108	—	2	4	no	—
47	C₂×#108	—	2	4	no	—
48	C₂×#108	—	2	4	no	—
49	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	#427	—	2	4	no	—
52	#427	—	2	4	no	—
53	#427	—	2	4	no	—
54	#427	—	2	4	no	—
55	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×#106	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	#423	—	2	4	no	—
60	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	#405	—	2	8	no	—
63	#405	—	2	8	no	—
64	C₂×#97	—	2	2	no	—
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×#97	—	2	4	no	—
67	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
72	C₂×#97	Q₈	1	4	yes	—
73	C₂×#97	Q₈	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	—
87	#384	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	#382	C₂×C₄	1	4	yes	—
89	#380	—	2	4	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
91	#376	—	2	2	no	—
92	#376	C₂×C₄	1	4	yes	—
93	C₂×#95	—	2	2	no	—
94	#339	—	2	8	no	—
95	#339	—	2	8	no	—
96	#336	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
99	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
138	#117	—	2	4	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	#117	—	2	4	no	—
141	#117	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
165	#108	—	2	16	no	—
166	#108	—	2	16	no	—
167	#107	—	2	8	no	—
168	#107	—	2	8	no	—
169	#106	—	2	8	no	—
170	#106	—	2	8	no	—
171	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
172	#97	—	2	8	no	—
173	#97	—	4	8	no	—
174	#97	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
175	#97	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
176	C₄×C₈	—	2	8	no	—
177	C₄×C₈	—	4	8	no	—
178	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
179	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
180	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
181	C₄×C₈	C₄²	1	4	yes	—
182	C₄×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
183	#95	—	2	8	no	—
184	#95	—	2	8	no	—
185	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	M₁₆	—	2	8	no	—
215	M₁₆	—	2	8	no	—
216	M₁₆	—	4	4	no	—
217	M₁₆	—	4	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	8	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
232	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
233	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
236	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
238	C₂×C₈	#117	1	4	yes	—
239	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
244	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	4	4	no	—
267	C₄²	—	4	4	no	—
268	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
269	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
270	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
272	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
273	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
274	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
275	C₄²	C₄×Q₈	1	2	yes	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	16	no	—
298	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	4	8	no	—
330	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
331	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
332	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
333	C₈	C₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
334	C₈	#384	1	8	yes	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2285	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2957	1	4	yes	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	8	8	no	—
354	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
355	C₄	C₂×C₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
356	C₄	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
358	C₄	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
361	C₄	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	—	2	1	no	—
366	C₂	C₄×#384	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#20446	1	2	yes	—
368	C₂	#21707	1	2	yes	—
369	C₂	#21733	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
24. #1848	C₄	semidirect
25. #1846	C₄	semidirect
26. #1846	C₄	semidirect
27. #1845	C₄	semidirect
28. #1844	C₄	semidirect
35. #1726	C₄	semidirect
175. #97	C₄⋊C₄	semidirect
182. C₄×C₈	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1848	2
#20797	2
C₂×#1773	2
C₂×#1772	2
#20438	2
C₂×#1726	2
#10860	2
#10859	2
#10840	2