Subgroups — #355060

Order 512.

2906 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1779	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₄×#379	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10921	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#10714	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂⁵×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
11	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂×#379	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
19	#1779	C₄	1	8	yes	complemented
20	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
21	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#336	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂²⋊#95	C₄	1	2	yes	—
24	C₂²⋊#95	C₄	1	4	yes	—
25	C₂⁶	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂⁴×C₄	—	2	4	no	—
27	C₂⁴×C₄	—	2	4	no	—
28	C₂⁴×C₄	—	4	4	no	—
29	C₂⁴×C₄	—	4	4	no	—
30	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
37	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
38	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	D₄	1	8	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
55	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
56	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
58	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	4	8	no	—
60	#379	C₈	1	16	yes	complemented
61	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
62	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
64	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
65	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	#336	—	2	8	no	—
68	#336	—	4	8	no	—
69	C₂⁵	—	2	4	no	—
70	C₂⁵	—	2	4	no	—
71	C₂⁵	—	4	4	no	—
72	C₂⁵	—	4	4	no	—
73	C₂⁵	C₄²	1	4	yes	—
74	C₂⁵	C₂×C₈	1	8	yes	—
75	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
76	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
92	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
93	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
98	C₂³×C₄	—	4	32	no	—
99	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₄²	1	8	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
122	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
123	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	16	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	32	yes	complemented
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
139	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
140	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
142	C₄×C₈	—	4	16	no	—
143	#95	—	2	8	no	—
144	#95	—	4	8	no	—
145	C₂⁴	—	2	4	no	—
146	C₂⁴	—	2	4	no	—
147	C₂⁴	—	2	4	no	—
148	C₂⁴	—	2	4	no	—
149	C₂⁴	—	2	4	no	—
150	C₂⁴	—	2	4	no	—
151	C₂⁴	—	2	4	no	—
152	C₂⁴	—	2	4	no	—
153	C₂⁴	—	2	8	no	—
154	C₂⁴	—	2	8	no	—
155	C₂⁴	—	2	32	no	—
156	C₂⁴	—	4	8	no	—
157	C₂⁴	—	4	8	no	—
158	C₂⁴	—	4	32	no	—
159	C₂⁴	—	4	16	no	—
160	C₂⁴	—	4	16	no	—
161	C₂⁴	—	4	32	no	—
162	C₂⁴	C₄×C₈	1	16	yes	complemented
163	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
164	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
166	C₂⁴	C₂²×C₈	1	8	yes	—
167	C₂⁴	C₂²×C₈	1	4	yes	—
168	C₂⁴	#131	1	4	yes	—
169	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	16	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	16	no	—
227	C₂×C₈	—	2	8	no	—
228	C₂×C₈	—	4	16	no	—
229	C₂×C₈	—	4	16	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	—	4	4	no	—
232	C₂×C₈	—	4	8	no	—
233	C₂×C₈	—	4	8	no	—
234	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
237	C₄²	—	4	4	no	—
238	C₄²	—	4	4	no	—
239	C₄²	—	4	8	no	—
240	C₂³	—	2	8	no	—
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	8	no	—
243	C₂³	—	2	16	no	—
244	C₂³	—	2	16	no	—
245	C₂³	—	2	4	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	16	no	—
250	C₂³	—	2	16	no	—
251	C₂³	—	2	16	no	—
252	C₂³	—	2	32	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	4	32	no	—
257	C₂³	—	4	16	no	—
258	C₂³	—	4	128	no	—
259	C₂³	—	4	32	no	—
260	C₂³	—	4	16	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	—	4	8	no	—
263	C₂³	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	4	8	no	—
265	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	8	yes	—
267	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
268	C₂³	#405	1	4	yes	—
269	C₂³	C₈×D₄	1	16	yes	—
270	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
272	C₂³	#518	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂³×C₈	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
275	C₂³	#568	1	4	yes	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	16	no	—
282	C₂×C₄	—	2	16	no	—
283	C₂×C₄	—	2	32	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	32	no	—
288	C₂×C₄	—	4	16	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	16	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	16	no	—
298	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#538	1	8	yes	—
308	C₈	—	2	8	no	—
309	C₈	—	4	4	no	—
310	C₈	—	4	8	no	—
311	C₂²	—	2	32	no	—
312	C₂²	—	2	8	no	—
313	C₂²	—	2	8	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	8	no	—
317	C₂²	—	2	8	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	—	4	64	no	—
320	C₂²	—	4	32	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	C₈×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
326	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2273	1	2	yes	—
328	C₂²	#2321	1	4	yes	—
329	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#405	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#2873	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	4	yes	—
333	C₂²	#2930	1	4	yes	—
334	C₂²	#2972	1	8	yes	—
335	C₂²	#2976	1	8	yes	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	4	16	no	—
338	C₄	—	4	4	no	—
339	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
340	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#2312	1	2	yes	—
342	C₄	#2321	1	4	yes	—
343	C₂	—	2	8	no	—
344	C₂	—	4	8	no	—
345	C₂	#13775	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#20386	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20523	1	2	yes	—
349	C₂	#20527	1	2	yes	—
350	C₂	#22028	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄×C₈
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁶	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
5. #10921	C₂	semidirect
6. #10714	C₂	semidirect
11. C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	semidirect
15. C₂²×C₄×C₈	C₂²	semidirect
19. #1779	C₄	semidirect
21. C₂×#336	C₂²	semidirect
22. C₂×#336	C₂²	semidirect
60. #379	C₈	semidirect
123. C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect
134. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
162. C₂⁴	C₄×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₂²⋊C₈	2
C₂×#1779	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
C₄×#379	2
#10921	2
#10714	2