Subgroups — #355076

Order 512.

2010 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20584	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10961	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#10729	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#408	—	2	4	no	—
13	C₂×#408	—	2	4	no	—
14	C₂×#408	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	1	4	yes	complemented
18	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#2280	C₂²	1	2	yes	—
20	#1785	C₄	1	4	yes	complemented
21	#1784	C₄	1	2	yes	complemented
22	#1783	C₄	1	2	yes	complemented
23	#1782	C₄	1	4	yes	—
24	#1781	C₄	1	4	yes	—
25	#1752	—	2	4	no	—
26	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	8	yes	complemented
28	#1729	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂²×#41	—	2	4	no	—
30	C₂²×#41	—	2	4	no	—
31	C₂²×#41	—	4	4	no	—
32	C₂²×#41	—	4	4	no	—
33	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	—	4	4	no	—
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
52	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
55	#413	—	4	4	no	—
56	#413	—	4	4	no	—
57	C₂×#101	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	#410	—	4	4	no	—
60	#410	—	4	4	no	—
61	C₂×#99	C₂×C₄	1	16	yes	—
62	#408	—	2	4	no	—
63	#408	—	2	8	no	—
64	#408	—	2	4	no	—
65	#408	—	2	8	no	—
66	#408	—	2	4	no	—
67	#408	—	2	4	no	—
68	#407	—	2	4	no	—
69	#407	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#407	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
76	#405	—	4	8	no	—
77	C₂×#97	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
79	#381	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#380	—	2	4	no	—
81	#379	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
83	#344	—	4	8	no	—
84	#336	—	2	8	no	—
85	C₂⁵	C₄²	1	2	yes	—
86	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#41	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	2	4	no	—
89	C₂×#41	—	2	8	no	—
90	C₂×#41	—	2	8	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	4	4	no	—
98	C₂×#41	—	4	4	no	—
99	C₂×#41	—	4	8	no	—
100	C₂×#41	—	4	4	no	—
101	C₂×#41	—	4	4	no	—
102	C₂×#41	—	4	16	no	—
103	C₂×#41	—	4	16	no	—
104	C₂×#41	—	4	32	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
107	C₂²×Q₈	C₄²	1	2	yes	—
108	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
113	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
114	C₂²×D₄	C₄²	1	2	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
123	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
124	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
151	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	#117	—	2	8	no	—
163	#117	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	#101	—	4	8	no	—
169	#100	—	4	8	no	—
170	#99	—	4	16	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
175	#97	—	4	8	no	—
176	C₄×C₈	—	4	8	no	—
177	#95	—	2	8	no	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	—	4	4	no	—
182	C₂⁴	—	4	8	no	—
183	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
184	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
185	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
186	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
187	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
188	#41	—	4	32	no	—
189	#41	—	4	8	no	—
190	#41	—	4	8	no	—
191	#41	—	4	16	no	—
192	#41	—	4	32	no	—
193	#41	—	4	8	no	—
194	#41	—	4	8	no	—
195	#41	—	4	8	no	—
196	#41	—	4	8	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
203	C₂×D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	16	no	—
215	C₂×D₄	—	4	32	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
257	M₁₆	—	2	16	no	—
258	M₁₆	—	4	8	no	—
259	M₁₆	—	4	8	no	—
260	M₁₆	—	4	8	no	—
261	C₂×C₈	—	2	8	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	8	no	—
267	C₂×C₈	—	2	8	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	8	no	—
275	C₂×C₈	—	4	4	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
279	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
282	C₄²	—	4	4	no	—
283	C₄²	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	2	8	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	16	no	—
296	C₂³	—	4	8	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	—	4	8	no	—
299	C₂³	—	4	8	no	—
300	C₂³	—	8	16	no	—
301	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
302	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
305	C₂³	#518	1	4	yes	—
306	Q₈	—	4	8	no	—
307	Q₈	—	4	8	no	—
308	D₄	—	4	8	no	—
309	D₄	—	4	16	no	—
310	D₄	—	4	16	no	—
311	D₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	16	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	16	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#538	1	8	yes	—
345	C₈	—	2	4	no	—
346	C₈	—	2	4	no	—
347	C₈	—	4	4	no	—
348	C₈	—	4	8	no	—
349	C₂²	—	2	8	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	16	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	8	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	8	16	no	—
364	C₂²	#1757	1	4	yes	—
365	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#2273	1	2	yes	—
367	C₂²	#2321	1	4	yes	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	2	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	8	8	no	—
372	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2312	1	2	yes	—
375	C₄	#2321	1	4	yes	—
376	C₂	—	2	4	no	—
377	C₂	—	2	4	no	—
378	C₂	—	2	2	no	—
379	C₂	—	4	2	no	—
380	C₂	—	8	4	no	—
381	C₂	#13775	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×#1757	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂⁴×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20385	C₂	semidirect
5. #10961	C₂	semidirect
6. #10729	C₂	semidirect
14. C₂×#408	C₄	semidirect
17. C₂²×C₂²⋊C₈	C₄	semidirect
18. C₂×#405	C₂²	semidirect
20. #1785	C₄	semidirect
21. #1784	C₄	semidirect
22. #1783	C₄	semidirect
27. C₂×#344	C₂²	semidirect
28. #1729	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#408	2
#20591	2
#20584	2
#20385	2
#10961	2
#10729	2