Subgroups — #355077

Order 512.

1958 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20584	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10961	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#10729	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
12	#2879	—	2	8	no	—
13	C₂×#408	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#407	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	complemented
18	#2280	C₂²	1	2	yes	—
19	#1785	C₄	1	4	yes	complemented
20	#1784	C₄	1	2	yes	complemented
21	#1783	C₄	1	2	yes	complemented
22	#1782	C₄	1	4	yes	—
23	#1781	C₄	1	4	yes	—
24	#1753	—	2	8	no	—
25	C₂×#344	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#1729	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂²×#41	—	2	4	no	—
28	C₂²×#41	—	2	4	no	—
29	C₂²×#41	—	4	4	no	—
30	C₂²×#41	—	4	4	no	—
31	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
52	#413	—	4	4	no	—
53	#413	—	4	4	no	—
54	C₂×#101	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	#410	—	4	4	no	—
57	#410	—	4	4	no	—
58	C₂×#99	C₂×C₄	1	16	yes	—
59	#408	—	2	16	no	—
60	#408	—	2	8	no	—
61	#408	—	2	8	no	—
62	#407	—	2	4	no	—
63	#407	—	2	16	no	—
64	#407	C₂×C₄	1	4	yes	—
65	#407	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
68	#405	—	4	8	no	—
69	C₂×#97	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
71	#381	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	#380	—	2	4	no	—
73	#379	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
75	#344	—	4	8	no	—
76	#336	—	2	8	no	—
77	C₂⁵	C₄²	1	2	yes	—
78	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#41	—	2	4	no	—
80	C₂×#41	—	2	4	no	—
81	C₂×#41	—	2	8	no	—
82	C₂×#41	—	2	8	no	—
83	C₂×#41	—	2	4	no	—
84	C₂×#41	—	2	4	no	—
85	C₂×#41	—	2	4	no	—
86	C₂×#41	—	2	4	no	—
87	C₂×#41	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	2	4	no	—
89	C₂×#41	—	4	4	no	—
90	C₂×#41	—	4	4	no	—
91	C₂×#41	—	4	8	no	—
92	C₂×#41	—	4	4	no	—
93	C₂×#41	—	4	4	no	—
94	C₂×#41	—	4	16	no	—
95	C₂×#41	—	4	16	no	—
96	C₂×#41	—	4	32	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
99	C₂²×Q₈	C₄²	1	2	yes	—
100	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
105	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
106	C₂²×D₄	C₄²	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
108	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
114	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
115	C₂³×C₄	C₄²	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₄²	1	4	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
138	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
140	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
141	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	#117	—	2	8	no	—
150	#117	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	#101	—	4	8	no	—
156	#100	—	4	8	no	—
157	#99	—	4	16	no	—
158	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
161	#97	—	4	8	no	—
162	C₄×C₈	—	4	8	no	—
163	#95	—	2	8	no	—
164	C₂⁴	—	2	4	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	4	no	—
167	C₂⁴	—	8	2	no	—
168	C₂⁴	—	8	4	no	—
169	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
171	C₂⁴	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
172	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
173	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
174	#41	—	4	32	no	—
175	#41	—	4	8	no	—
176	#41	—	4	8	no	—
177	#41	—	4	16	no	—
178	#41	—	4	32	no	—
179	#41	—	4	8	no	—
180	#41	—	4	8	no	—
181	#41	—	4	8	no	—
182	#41	—	4	8	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	8	no	—
192	C₂×D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	16	no	—
201	C₂×D₄	—	4	32	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
243	M₁₆	—	2	16	no	—
244	M₁₆	—	4	8	no	—
245	M₁₆	—	4	8	no	—
246	M₁₆	—	4	8	no	—
247	M₁₆	—	4	8	no	—
248	M₁₆	—	4	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	8	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	4	8	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
263	C₄²	—	4	4	no	—
264	C₄²	—	4	4	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	4	2	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	8	4	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	—	8	8	no	—
281	C₂³	—	8	16	no	—
282	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
283	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₂³	#518	1	4	yes	—
287	Q₈	—	4	8	no	—
288	Q₈	—	4	8	no	—
289	D₄	—	4	8	no	—
290	D₄	—	4	16	no	—
291	D₄	—	4	16	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	16	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	16	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#538	1	8	yes	—
326	C₈	—	2	8	no	—
327	C₈	—	4	4	no	—
328	C₈	—	4	8	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	4	4	no	—
337	C₂²	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	8	8	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	16	no	—
345	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2273	1	2	yes	—
347	C₂²	#2321	1	4	yes	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	8	8	no	—
352	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2312	1	2	yes	—
355	C₄	#2321	1	4	yes	—
356	C₂	—	2	4	no	—
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	4	2	no	—
359	C₂	—	4	2	no	—
360	C₂	—	8	4	no	—
361	C₂	#13775	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20401	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #20386	C₂	semidirect
5. #10961	C₂	semidirect
6. #10729	C₂	semidirect
13. C₂×#408	C₄	semidirect
15. C₂×#407	C₄	semidirect
17. C₂×#405	C₂²	semidirect
19. #1785	C₄	semidirect
20. #1784	C₄	semidirect
21. #1783	C₄	semidirect
25. C₂×#344	C₂²	semidirect
26. #1729	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2879	2
#20591	2
#20584	2
#20386	2
#10961	2
#10729	2