Subgroups — #355093

Order 512.

1861 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60065	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20623	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20401	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#10956	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10950	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10759	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#585	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
12	#2896	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
15	#2880	—	2	8	no	—
16	#2879	C₄	1	4	yes	complemented
17	#2879	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#408	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
20	#2873	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#1796	C₄	1	8	yes	complemented
22	#1795	C₄	1	8	yes	complemented
23	#1757	—	2	8	no	—
24	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#1735	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#585	—	4	2	no	—
30	#585	—	4	2	no	—
31	#585	—	4	2	no	—
32	#585	—	4	2	no	—
33	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
34	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	1	no	—
36	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
37	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×#41	—	2	4	no	—
39	C₂²×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#568	—	4	2	no	—
43	#568	—	4	2	no	—
44	C₂×#131	—	2	4	no	—
45	C₂×#131	—	4	2	no	—
46	C₂×#131	—	4	2	no	—
47	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
56	#421	—	4	4	no	—
57	#421	C₂×C₄	1	16	yes	—
58	C₂×#104	—	4	4	no	—
59	#419	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	#418	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	#417	—	4	4	no	—
62	#416	—	4	4	no	—
63	#413	—	2	4	no	—
64	#413	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂×#101	—	2	2	no	—
66	C₂×#100	—	2	2	no	—
67	#410	—	2	4	no	—
68	#410	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₂×#99	—	2	4	no	—
70	#408	—	2	8	no	—
71	#408	—	2	4	no	—
72	#408	—	2	8	no	—
73	#408	—	2	4	no	—
74	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#408	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	#408	C₂×C₄	1	4	yes	—
77	#407	—	2	8	no	—
78	#407	—	2	4	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
81	#405	—	2	8	no	—
82	#405	—	4	4	no	—
83	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
84	#344	—	2	8	no	—
85	#341	—	4	2	no	—
86	#340	—	4	2	no	—
87	#338	—	4	2	no	—
88	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
89	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
90	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
91	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
92	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
93	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
94	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
95	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
96	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
97	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
98	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	8	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	4	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	—	4	4	no	—
115	C₂×#41	—	4	4	no	—
116	C₂×#41	—	4	4	no	—
117	C₂×#41	—	4	4	no	—
118	C₂×#41	—	4	16	no	—
119	C₂×#41	—	4	16	no	—
120	C₂×#41	C₄²	1	8	yes	—
121	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
127	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂²×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
130	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
133	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
134	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
136	C₂²×D₄	#41	1	1	yes	characteristic
137	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
139	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	#131	—	4	16	no	—
142	#131	—	4	16	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
155	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
157	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
158	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
159	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
160	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
161	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	#117	—	2	4	no	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
181	#104	—	4	16	no	—
182	#103	—	4	8	no	—
183	#102	—	4	8	no	—
184	#101	—	2	8	no	—
185	#100	—	2	8	no	—
186	#99	—	2	16	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
190	#97	—	4	8	no	—
191	C₄×C₈	—	4	8	no	—
192	C₂⁴	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
195	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
196	#41	—	2	8	no	—
197	#41	—	2	8	no	—
198	#41	—	2	8	no	—
199	#41	—	2	8	no	—
200	#41	—	2	8	no	—
201	#41	—	2	4	no	—
202	#41	—	2	4	no	—
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	2	8	no	—
206	#41	—	4	8	no	—
207	#41	—	4	8	no	—
208	#41	—	4	8	no	—
209	#41	—	4	8	no	—
210	#41	—	4	8	no	—
211	#41	—	4	8	no	—
212	#41	—	4	32	no	—
213	#41	—	4	16	no	—
214	#41	—	4	16	no	—
215	#41	—	4	4	no	—
216	#41	—	4	4	no	—
217	#41	—	4	4	no	—
218	#41	—	4	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
228	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
229	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	8	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	32	no	—
244	C₂×D₄	—	4	16	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	8	no	—
247	C₂×D₄	—	4	4	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
250	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
251	C₂×D₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	2	8	no	—
280	M₁₆	—	2	8	no	—
281	M₁₆	—	2	8	no	—
282	M₁₆	—	4	8	no	—
283	M₁₆	—	4	8	no	—
284	M₁₆	—	4	4	no	—
285	M₁₆	—	4	4	no	—
286	M₁₆	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	8	no	—
288	C₂×C₈	—	2	1	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	8	no	—
292	C₂×C₈	—	2	1	no	—
293	C₂×C₈	—	2	1	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	2	1	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	8	no	—
299	C₂×C₈	—	4	8	no	—
300	C₂×C₈	—	4	4	no	—
301	C₂×C₈	—	4	4	no	—
302	C₂×C₈	—	4	4	no	—
303	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
304	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₄²	—	2	8	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	4	8	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	8	1	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	—	8	4	no	—
318	C₂³	—	8	8	no	—
319	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
320	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₂³	#538	1	2	yes	—
323	C₂³	#538	1	2	yes	—
324	Q₈	—	2	8	no	—
325	Q₈	—	2	4	no	—
326	Q₈	—	2	4	no	—
327	Q₈	—	4	8	no	—
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	D₄	—	2	16	no	—
330	D₄	—	2	8	no	—
331	D₄	—	2	4	no	—
332	D₄	—	2	4	no	—
333	D₄	—	4	8	no	—
334	D₄	—	4	16	no	—
335	D₄	—	4	4	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	8	no	—
338	D₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	4	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	16	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	8	no	—
353	C₂×C₄	—	16	4	no	—
354	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
355	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
368	C₈	—	2	8	no	—
369	C₈	—	4	1	no	—
370	C₈	—	4	1	no	—
371	C₈	—	4	2	no	—
372	C₈	—	4	8	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	1	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	4	2	no	—
378	C₂²	—	4	4	no	—
379	C₂²	—	4	8	no	—
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	8	2	no	—
382	C₂²	—	8	2	no	—
383	C₂²	—	16	4	no	—
384	C₂²	—	16	8	no	—
385	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#2312	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#2312	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#2321	1	4	yes	—
389	C₄	—	2	4	no	—
390	C₄	—	4	4	no	—
391	C₄	—	8	8	no	—
392	C₄	#2273	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#2273	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2309	1	1	yes	characteristic
396	C₄	#2321	1	4	yes	—
397	C₂	—	2	4	no	—
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	2	1	no	—
400	C₂	—	2	1	no	—
401	C₂	—	4	4	no	—
402	C₂	—	8	4	no	—
403	C₂	#13775	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2308
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#13775
prime radical	C₂×#585	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20401	C₂	semidirect
4. #10956	C₂	semidirect
5. #10950	C₂	semidirect
6. #10760	C₂	semidirect
7. #10759	C₂	semidirect
16. #2879	C₄	semidirect
18. C₂×#408	C₄	semidirect
20. #2873	C₂²	semidirect
21. #1796	C₄	semidirect
22. #1795	C₄	semidirect
24. C₂×#344	C₂²	semidirect
25. C₂×#341	C₂²	semidirect
26. #1735	C₂²	semidirect
27. C₂×#338	C₂²	semidirect
28. C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60065	2
#20623	2
#20401	2
#10956	2
#10950	2
#10760	2
#10759	2