Subgroups — #35512

Order 256.

2897 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 268 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#525	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2408	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2407	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2405	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2403	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#2311	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	16	no	—
11	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
12	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#41	C₂²	1	4	yes	complemented
14	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂⁴×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#525	—	2	16	no	—
20	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#121	—	2	8	no	—
23	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	8	yes	complemented
28	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#394	C₂²	1	16	yes	complemented
32	#392	C₂²	1	16	yes	complemented
33	#391	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#390	C₂²	1	8	yes	complemented
35	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#380	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#379	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#379	C₂²	1	8	yes	complemented
42	C₂⁵	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
45	H(5,𝔽₂)	—	2	128	no	—
46	C₂×#41	—	2	16	no	—
47	C₂×#41	—	2	16	no	—
48	C₂×#41	—	2	8	no	—
49	C₂×#41	—	2	8	no	—
50	C₂×#41	—	2	16	no	—
51	C₂×#41	D₄	1	16	yes	complemented
52	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
54	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
55	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
56	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
57	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
58	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
59	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
60	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
61	C₂²×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
62	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
69	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#123	—	2	16	no	—
77	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
78	#121	—	2	32	no	—
79	#121	—	2	16	no	—
80	#120	—	2	16	no	—
81	#120	—	4	16	no	—
82	C₄×D₄	—	2	32	no	—
83	#117	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
97	#95	C₂³	1	16	yes	—
98	C₂⁴	—	2	2	no	—
99	C₂⁴	—	2	4	no	—
100	C₂⁴	—	2	8	no	—
101	C₂⁴	—	2	16	no	—
102	C₂⁴	—	2	8	no	—
103	C₂⁴	—	2	4	no	—
104	C₂⁴	—	4	2	no	—
105	C₂⁴	—	4	4	no	—
106	C₂⁴	—	4	4	no	—
107	C₂⁴	—	4	8	no	—
108	C₂⁴	—	4	8	no	—
109	C₂⁴	C₂×D₄	1	8	yes	—
110	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
111	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
112	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
113	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	#41	—	2	128	no	—
115	#41	—	2	64	no	—
116	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
117	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
118	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
119	C₂×D₄	—	2	128	no	—
120	C₂×D₄	—	2	128	no	—
121	C₂×D₄	—	2	16	no	—
122	C₂×D₄	—	2	16	no	—
123	C₂×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂×D₄	—	2	16	no	—
126	C₂×D₄	—	2	16	no	—
127	C₂×D₄	—	2	16	no	—
128	C₂×D₄	—	2	16	no	—
129	C₂×D₄	—	2	32	no	—
130	C₂×D₄	—	2	16	no	—
131	C₂×D₄	—	2	8	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂×D₄	—	4	8	no	—
136	C₂×D₄	—	4	8	no	—
137	C₂×D₄	—	4	32	no	—
138	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
139	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
140	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
141	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
153	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
171	C₄²	—	2	8	no	—
172	C₂³	—	2	2	no	—
173	C₂³	—	2	2	no	—
174	C₂³	—	2	8	no	—
175	C₂³	—	2	32	no	—
176	C₂³	—	2	4	no	—
177	C₂³	—	2	2	no	—
178	C₂³	—	2	4	no	—
179	C₂³	—	2	8	no	—
180	C₂³	—	2	4	no	—
181	C₂³	—	2	8	no	—
182	C₂³	—	2	8	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	8	no	—
185	C₂³	—	2	4	no	—
186	C₂³	—	2	8	no	—
187	C₂³	—	2	16	no	—
188	C₂³	—	4	8	no	—
189	C₂³	—	4	8	no	—
190	C₂³	—	4	16	no	—
191	C₂³	—	4	4	no	—
192	C₂³	—	4	4	no	—
193	C₂³	—	8	16	no	—
194	C₂³	—	8	8	no	—
195	C₂³	—	8	8	no	—
196	C₂³	—	8	32	no	—
197	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
198	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
199	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
200	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
201	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	complemented
202	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
203	Q₈	—	2	16	no	—
204	D₄	—	2	64	no	—
205	D₄	—	2	32	no	—
206	D₄	—	2	32	no	—
207	D₄	—	2	16	no	—
208	D₄	—	4	32	no	—
209	D₄	—	4	32	no	—
210	C₂×C₄	—	2	32	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	32	no	—
214	C₂×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂×C₄	—	4	16	no	—
224	C₂×C₄	#120	1	16	yes	complemented
225	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
226	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
227	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
228	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
229	C₂²	—	2	2	no	—
230	C₂²	—	2	2	no	—
231	C₂²	—	2	8	no	—
232	C₂²	—	2	8	no	—
233	C₂²	—	2	8	no	—
234	C₂²	—	2	4	no	—
235	C₂²	—	2	8	no	—
236	C₂²	—	2	8	no	—
237	C₂²	—	2	8	no	—
238	C₂²	—	2	16	no	—
239	C₂²	—	4	16	no	—
240	C₂²	—	4	2	no	—
241	C₂²	—	4	4	no	—
242	C₂²	—	4	2	no	—
243	C₂²	—	4	4	no	—
244	C₂²	—	4	4	no	—
245	C₂²	—	4	8	no	—
246	C₂²	—	4	16	no	—
247	C₂²	—	8	16	no	—
248	C₂²	—	8	32	no	—
249	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
250	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	C₂³×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
253	C₂²	#585	1	2	yes	—
254	C₄	—	2	8	no	—
255	C₄	—	4	2	no	—
256	C₄	—	4	4	no	—
257	C₄	—	4	8	no	—
258	C₄	C₂×#120	1	8	yes	—
259	C₂	—	2	4	no	—
260	C₂	—	4	4	no	—
261	C₂	—	4	8	no	—
262	C₂	—	4	8	no	—
263	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
264	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
265	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
266	C₂	#3488	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×H(5,𝔽₂)	C₂	semidirect
2. C₂×#525	C₂	semidirect
3. C₂²×#121	C₂	semidirect
4. #2408	C₂	semidirect
5. #2407	C₂	semidirect
6. #2405	C₂	semidirect
7. #2403	C₂	semidirect
8. #2311	C₂	semidirect
9. #2309	C₂	semidirect
13. C₂²×#41	C₂²	semidirect
16. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
17. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
18. C₂⁴×C₄	C₂²	semidirect
20. C₂×#123	C₂²	semidirect
21. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×#121	C₂²	semidirect
24. C₂×#121	C₂²	semidirect
25. C₂×#120	C₂²	semidirect
26. C₂×#120	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
28. C₂×#117	C₂²	semidirect
29. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
30. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
31. #394	C₂²	semidirect
32. #392	C₂²	semidirect
33. #391	C₂²	semidirect
34. #390	C₂²	semidirect
35. #390	C₂²	semidirect
36. #386	C₂²	semidirect
37. #386	C₂²	semidirect
38. #385	C₂²	semidirect
39. #380	C₂²	semidirect
40. #379	C₂²	semidirect
41. #379	C₂²	semidirect
51. C₂×#41	D₄	semidirect
61. C₂²×D₄	D₄	semidirect
118. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
140. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
155. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
201. C₂³	H(5,𝔽₂)	semidirect
224. C₂×C₄	#120	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×H(5,𝔽₂)	2
C₂×#525	2
C₂²×#121	2
#2408	2
#2407	2
#2405	2
#2403	2
#2311	2
#2309	2