Subgroups — #355146

Order 512.

1225 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 264 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20713	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20710	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20401	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10920	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10917	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10764	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2906	—	2	8	no	—
12	#2905	C₄	1	4	yes	complemented
13	#2905	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#424	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
18	#2873	C₂²	1	4	yes	—
19	#1830	C₄	1	4	yes	complemented
20	#1829	C₄	1	4	yes	complemented
21	#1828	C₄	1	8	yes	—
22	#1757	—	2	8	no	—
23	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
26	#1740	C₂²	1	4	yes	—
27	#1729	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	#568	—	4	4	no	—
30	C₂×#131	—	2	4	no	—
31	C₂×#131	—	4	4	no	—
32	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#520	—	2	4	no	—
41	#519	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	#518	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	#518	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₄×#41	—	2	4	no	—
45	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
48	#424	—	2	8	no	—
49	#424	—	2	4	no	—
50	#424	—	2	8	no	—
51	#424	—	2	4	no	—
52	#424	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	#424	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	#424	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	#423	—	2	8	no	—
56	#423	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
59	#413	—	2	4	no	—
60	#413	—	2	4	no	—
61	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#410	—	2	4	no	—
64	#410	—	2	4	no	—
65	C₂×#99	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	#405	—	2	8	no	—
67	#405	—	4	4	no	—
68	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
69	#344	—	2	8	no	—
70	#344	—	4	4	no	—
71	#344	C₂×C₄	1	16	yes	—
72	#342	C₂×C₄	1	16	yes	—
73	#336	—	4	4	no	—
74	C₂×#41	—	2	4	no	—
75	C₂×#41	—	2	4	no	—
76	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
78	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	#131	—	4	16	no	—
84	#131	—	4	16	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
96	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
97	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
98	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
99	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
106	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	C₄×D₄	—	2	16	no	—
114	#117	—	2	4	no	—
115	#117	—	2	4	no	—
116	#117	—	2	2	no	—
117	#117	—	2	2	no	—
118	#117	—	2	4	no	—
119	#117	—	2	4	no	—
120	#117	—	2	4	no	—
121	#117	—	2	4	no	—
122	#117	C₄²	1	8	yes	—
123	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
135	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
136	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
137	#101	—	2	8	no	—
138	#100	—	2	8	no	—
139	#99	—	2	16	no	—
140	#97	—	4	8	no	—
141	C₄×C₈	—	4	8	no	—
142	C₂⁴	C₂×C₄²	1	2	yes	—
143	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
144	#41	—	2	8	no	—
145	#41	—	2	8	no	—
146	#41	—	2	8	no	—
147	#41	—	2	8	no	—
148	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
149	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×D₄	—	2	8	no	—
151	C₂×D₄	—	2	4	no	—
152	C₂×D₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×D₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
168	M₁₆	—	2	4	no	—
169	M₁₆	—	2	4	no	—
170	M₁₆	—	2	8	no	—
171	M₁₆	—	2	8	no	—
172	M₁₆	—	2	8	no	—
173	M₁₆	—	4	8	no	—
174	M₁₆	—	4	8	no	—
175	M₁₆	—	4	4	no	—
176	M₁₆	—	4	4	no	—
177	M₁₆	—	4	4	no	—
178	C₂×C₈	—	2	8	no	—
179	C₂×C₈	—	2	1	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	—	2	1	no	—
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂×C₈	—	2	8	no	—
186	C₂×C₈	—	4	8	no	—
187	C₂×C₈	—	4	8	no	—
188	C₂×C₈	—	4	4	no	—
189	C₂×C₈	—	4	4	no	—
190	C₂×C₈	—	4	4	no	—
191	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
192	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
201	C₂²⋊C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
202	C₄²	—	2	4	no	—
203	C₄²	—	2	4	no	—
204	C₄²	—	2	8	no	—
205	C₄²	—	4	4	no	—
206	C₄²	—	4	4	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	8	1	no	—
209	C₂³	—	8	2	no	—
210	C₂³	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
211	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
212	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₂³	#520	1	4	yes	—
214	Q₈	—	2	8	no	—
215	D₄	—	2	16	no	—
216	D₄	—	2	8	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂×C₄	—	8	4	no	—
224	C₂×C₄	—	8	8	no	—
225	C₂×C₄	—	8	8	no	—
226	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
227	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
231	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
232	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
233	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
234	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
235	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
236	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
237	C₈	—	2	8	no	—
238	C₈	—	4	1	no	—
239	C₈	—	4	1	no	—
240	C₈	—	4	2	no	—
241	C₈	—	4	8	no	—
242	C₂²	—	2	4	no	—
243	C₂²	—	4	2	no	—
244	C₂²	—	4	4	no	—
245	C₂²	—	4	1	no	—
246	C₂²	—	4	4	no	—
247	C₂²	—	8	4	no	—
248	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	#2274	1	2	yes	—
250	C₂²	#2322	1	4	yes	—
251	C₄	—	2	4	no	—
252	C₄	—	4	8	no	—
253	C₄	—	8	8	no	—
254	C₄	#2308	1	1	yes	characteristic
255	C₄	#2310	1	1	yes	characteristic
256	C₄	#2313	1	2	yes	—
257	C₄	#2322	1	4	yes	—
258	C₂	—	2	1	no	—
259	C₂	—	2	4	no	—
260	C₂	—	2	2	no	—
261	C₂	—	4	4	no	—
262	C₂	#13776	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2308
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#13776
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10920	C₂	semidirect
6. #10917	C₂	semidirect
12. #2905	C₄	semidirect
14. C₂×#424	C₄	semidirect
19. #1830	C₄	semidirect
20. #1829	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60100	2
#20713	2
#20710	2
#20401	2
#10920	2
#10917	2
#10764	2